Limiti unilaterali

[salvatoresambito]

Salve ragazzi , ho provato a risolvere questo limite e non riesco a fare la distinzione dei due casi :
$ lim_(x -> 1^-) sqrt(ln(x)+1)/ln(x) lim_(x -> 1+) sqrt(ln(x)+1)/ln(x) $ .
Quindi mi sa che l'errore derivi da qui $ lim_(x -> 1) sqrt(ln(x)+1)/ln(x) =+oo $
Non riesco a fare la distinzione "algebricamente" , in poche parole non riesco a far uscire gli infiniti di segno opposto .Come si procede in questi casi?

[Mephlip]

Il numeratore tende a $1$ ed è ininfluente sul risultato del limite che tenda a $1$ da destra o da sinistra in entrambi i casi; per il denominatore puoi ragionare in vari modi, per esempio potresti ragionare su quando il logaritmo è nullo e sfruttare la monotonia del logaritmo per concludere.

[salvatoresambito]

"Mephlip":Il numeratore tende a $1$ ed è ininfluente sul risultato del limite che tenda a $1$ da destra o da sinistra in entrambi i casi; per il denominatore puoi ragionare in vari modi, per esempio potresti ragionare su quando il logaritmo è nullo e sfruttare la monotonia del logaritmo per concludere.

Quindi essendo ln(x) monotona crescente $ln(1^-)=0^-$ ed $ln(1^+)=0^+$?

[Mephlip]

Esatto! Detto meglio: $\ln(x) \to 0^-$ quando $x \to 1^-$ e $\ln(x) \to 0^+$ quando $x \to 1^+$.

[salvatoresambito]

Grazie mille

[dissonance]

"Mephlip":Esatto! Detto meglio: $\ln(x) \to 0^-$ quando $x \to 1^-$ e $\ln(x) \to 0^+$ quando $x \to 1^+$.

quei \(\log(1^+)=0^+\) non si possono proprio vedere

[salvatoresambito]

"dissonance":[quote="Mephlip"]Esatto! Detto meglio: $\ln(x) \to 0^-$ quando $x \to 1^-$ e $\ln(x) \to 0^+$ quando $x \to 1^+$.

quei \(\log(1^+)=0^+\) non si possono proprio vedere[/quote]
Nel senso che servirebbe un bel limite??

[dissonance]

Sono solo osservazioni che faccio sulle notazioni, non veri e propri errori. Una cosa come \(\log(1^+)=0^+\) è in realtà perfettamente comprensibile e si usa nella matematica attuale, solo che, specialmente se si è alle prime armi, rischia di creare confusione.

Personalmente cerco di evitare di sforzare la memoria; invece, cerco di usare costruzioni più esplicite, con creatività. Quindi, invece di \(\log(1^+)=0^+\), io scriverei che \(\log(1)=0\) e \(\log(1+h)>0\) per ogni \(h>0\).