Limiti una var

[dazuco]

qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere i due limiti

1) lim x->0 (sqrt(x))* In(x + sqrt(x))

2) lim x->0+ (sin((pi/2)+sqrt(x)) - 1)/sin(x)

grazie

[goblyn]

(1) Intanto se x --> 0 (0+ naturalmente...) allora sqrt(x)>>x e l'espressione diventa:

sqrt(x) * log(sqrt(x)) = 1/2 * sqrt(x) * log(x) =

= 1/2 * log(x) / (x^(-1/2))

Applichiamo de L'Hopital:

1/2 * 1/x / [-1/2 * x^(-3/2)] = - x^(1/2) --> 0


(2) Dunque, ricordo che:

sin(t+pi/2) = cos(t)

L'espressione diventa quindi:

[cos(sqrt(x)) - 1]/sin(x)

per x-->0 usiamo le formule di taylor per il cos e il sin...:

cos(t) --> 1 - (1/2)t^2 ==> cos(t)-1 --> -(1/2)t^2
sin(t) --> t

Sostituendo nel limite...:

-(1/2)x / x = -1/2



Modificato da - goblyn il 28/09/2003 23:36:32