Limiti un po' problematici
Salve ragazzi, sapreste risolvere senza De L'Hopital e senza gli ordini di infinitesimo i seguenti limiti?
$ lim_(x -> 1) (sqrt(x+3)-sqrt(5-x))/(sqrt(1+x)-sqrt(2))=sqrt(2) $
$ lim_(x -> 0) (e^x+e^-x-2)/(3x^2)=1/3 $
Per il primo ho provato a razionalizzare, ma non mi trovo con il risultato (può anche darsi che abbia sbagliato qualche conto banale). Per il secondo cerco di ricondurmi al limite notevole, ma quella $x^2$ mi dà qualche problema
EDIT: Come non detto, risolti. Nel primo bisogna razionalizzare rispetto sia al numeratore che al denominatore mentre nel secondo bisogna fare la sostituzione $y=e^x$ e poi tornare indietro
$ lim_(x -> 1) (sqrt(x+3)-sqrt(5-x))/(sqrt(1+x)-sqrt(2))=sqrt(2) $
$ lim_(x -> 0) (e^x+e^-x-2)/(3x^2)=1/3 $
Per il primo ho provato a razionalizzare, ma non mi trovo con il risultato (può anche darsi che abbia sbagliato qualche conto banale). Per il secondo cerco di ricondurmi al limite notevole, ma quella $x^2$ mi dà qualche problema
EDIT: Come non detto, risolti. Nel primo bisogna razionalizzare rispetto sia al numeratore che al denominatore mentre nel secondo bisogna fare la sostituzione $y=e^x$ e poi tornare indietro
Risposte
Ciao! per il primo direi che hai sbagliato qualche calcolo, razionalizzando viene in due passaggi 
Per il secondo :
$lim_(x -> 0) \frac{e^x+e^-x-2}{3x^2} = lim_(x -> 0) \frac {\frac{e^(x^2)+1-2e^x}{e^x}}{3x^2} = $
$lim_(x -> 0) \frac{(e^x-1)^2}{3x^2}\frac{1}{e^x} = \frac{1}{3}$
ps: pardon, ho visto solo quando ho pubblicato il messaggio che nel mentre li hai risolti
Per il secondo :
$lim_(x -> 0) \frac{e^x+e^-x-2}{3x^2} = lim_(x -> 0) \frac {\frac{e^(x^2)+1-2e^x}{e^x}}{3x^2} = $
$lim_(x -> 0) \frac{(e^x-1)^2}{3x^2}\frac{1}{e^x} = \frac{1}{3}$
ps: pardon, ho visto solo quando ho pubblicato il messaggio che nel mentre li hai risolti
"Cesare_VR":
Ciao! per il primo direi che hai sbagliato qualche calcolo, razionalizzando viene in due passaggi
Per il secondo :
$lim_(x -> 0) \frac{e^x+e^-x-2}{3x^2} = lim_(x -> 0) \frac {\frac{e^(x^2)+1-2e^x}{e^x}}{3x^2} = $
$lim_(x -> 0) \frac{(e^x-1)^2}{3x^2}\frac{1}{e^x} = \frac{1}{3}$
ps: pardon, ho visto solo quando ho pubblicato il messaggio che nel mentre li hai risolti
Grazie comunque!
il secondo è facilmente risolvibile con le serie di taylor e^x $=$ ( 1 + x + 1/2 x^2), e^(-x) $=$ 1-x + 1/2 x^2, quindi al numeratore ottieni (1 + x + 1/2 x^2 + 1-x + 1/2 x^2 -2)/ 3x^2 = 1/3....,
Ciao,
Mi spiegate perché nella prima con la razionalizzazione non mi trovo? La forma indeterminata non si toglie.
Avete moltiplicato e diviso per l'opposto (sia numerat che denominat), giusto?
Help
Mi spiegate perché nella prima con la razionalizzazione non mi trovo? La forma indeterminata non si toglie.
Avete moltiplicato e diviso per l'opposto (sia numerat che denominat), giusto?
Help
Io ho fatto così:
$lim_(x -> 0) \frac{sqrt(x+3)-sqrt(5-x)}{sqrt(1+x)-sqrt(2)} = lim_(x -> 0) \frac{\frac{(sqrt(x+3)-sqrt(5-x))(sqrt(x+3)+sqrt(5-x))}{sqrt(x+3)+sqrt(5-x)}}{\frac{(sqrt(1+x)-sqrt(2))(sqrt(1+x)+sqrt(2))}{sqrt(1+x)+sqrt(2)}} = lim_(x -> 0) \frac{\frac{x+3-5x}{sqrt(x+3)}}{\frac{1+x-2}{sqrt(1+x)+sqrt(2)}} = lim_(x -> 0) \frac{2(x-1)}{x-1} \frac{sqrt(1+x)+sqrt(2)}{sqrt(x+3)} = sqrt(2) $
$lim_(x -> 0) \frac{sqrt(x+3)-sqrt(5-x)}{sqrt(1+x)-sqrt(2)} = lim_(x -> 0) \frac{\frac{(sqrt(x+3)-sqrt(5-x))(sqrt(x+3)+sqrt(5-x))}{sqrt(x+3)+sqrt(5-x)}}{\frac{(sqrt(1+x)-sqrt(2))(sqrt(1+x)+sqrt(2))}{sqrt(1+x)+sqrt(2)}} = lim_(x -> 0) \frac{\frac{x+3-5x}{sqrt(x+3)}}{\frac{1+x-2}{sqrt(1+x)+sqrt(2)}} = lim_(x -> 0) \frac{2(x-1)}{x-1} \frac{sqrt(1+x)+sqrt(2)}{sqrt(x+3)} = sqrt(2) $
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