Limiti: un dubbio

[alfredo14]

Salve,
come già detto in altre sezioni del forum sono solo un appassionato di fisica e matematica e, pertanto, spesso non vedo cose che per molti di voi, sicuramente, sono banali.

Ciò detto ecco il mio dubbio.

Su un testo di matematica per la scuola superiore trovo:

$\lim_{x\to0}\xsin(1/x)=0$

per la dimostrazione si deve provare, naturalmente, che le soluzioni della disequazione:

(1) $ |x sin(1/x)| < epsilon$

formano un intorno completo del punto zero, e ciò qualunque $ epsilon>0$ .

Si fa poi notare che, per ogni $x\ne 0$, si ha:

$ |sin(1/x)| \le 1$

e, quindi:

(2) $ |x sin(1/x)| <= |x|$

Si conclude affermando che la disequazione è soddisfatta dai valori della x, diversi da zero, che verificano la disequazione:

(3) $|x|
escluso, s'intende, lo zero.

A me sfugge la conclusione. Non riesco a capire come, nota la (2), si possa passare dalla (1) alla (3).

Infatti $|x sin(1/x)|$ è minore sia di $|x|$ che di $epsilon$ (in quest'ultimo caso solo per ipotesi). E quindi non possiamo inferire nulla sulla loro relazione ...
... oppure mi sfugge qualcosa?
Grazie.

[Studente Anonimo]

Questa:

$|x sin(1/x)| < epsilon$

non è un'ipotesi, è la tesi!

Quello che dice il libro è questo: se sono verificate le seguenti due ipotesi:

$|x|< epsilon$
$x \ne 0$

allora si ha che $|x sin(1/x)| < epsilon$.

Dimostrazione: supponiamo tali due ipotesi verificate. Allora poiché il modulo del seno di un numero reale è minore o uguale ad 1, si ha che $|x sin(1/x)| \leq |x| < epsilon$. Fine dimostrazione.

Questo dice che ogni volta che prendi un x non nullo di modulo minore di epsilon, la quantità $x sin(1/x)$ ha distanza da zero minore di $epsilon$. In altre parole, l'antiimmagine dell'intervallo aperto $(-epsilon,epsilon)$ tramite la funzione $x to x sin(1/x)$ contiene l'intorno bucato di zero $(-epsilon,epsilon)-\{0\}$ (nota il "contiene": non è necessario che lo eguagli).

[alfredo14]

Ciao Martino. Intanto grazie per la risposta.

Allora, concordo pienamente sulla prima affermazione. Ho confuso la tesi con l'ipotesi: mea culpa!

$x\ne0$ è, diciamo, un'ipotesi "obbligata" in quanto, altrimenti, l'espressione $sin(1/x)$ perderebbe di significato.

Ciò che non mi torna è quando dici che anche:

$|x|
$|xsin(1/x)|\le|x|$

allora:

$|x|
La tua conclusione, poi, mi è chiara (anche se non sarei mai riuscito ad enunciarla come te ).

[Studente Anonimo]

"alfredo":da quello che dice il testo è che, siccome:

$|xsin(1/x)|\le|x|$

allora:

$|x|

Questo non è esatto.

Credo di aver capito il punto che ti crea problemi: si tratta, secondo me, del termine "disequazione". La (1) è una disequazione, sì, ma in questo ambito non è vista come tale. Essa è piuttosto vista come una condizione, e quello di cui si va in cerca non sono tutte le "soluzioni" ma solo quelle che fanno comodo.

Quando si risolve una disequazione, ogni passaggio è abitualmente un "se e solo se". Per esempio: "x-1>0 se e solo se x>1". Invece qui non si cercano tutte le soluzioni di (1) ma alcune - cioè si cercano condizioni sufficienti affinché valga (1), non necessariamente necessarie - cioè non è importante che i passaggi siano dei $\Leftrightarrow$ ma solo dei $\Leftarrow$ -,nella fattispecie si vuole trovare un intorno bucato di zero di soluzioni.

Quindi si osserva che se vale (3) allora vale (1) (in virtù di (2), che è sempre vera), e ci si ferma qui.

La cosa importante da capire è che non è vero che se vale (1) allora vale (3). Quindi il "passaggio" da (1) a (3) non è un "se e solo se", infatti (3) è una condizione solo sufficiente affinché valga (1). Cioè, (3) implica (1) ma non viceversa. Ed è questo che importa, non serve a niente ai fini della dimostrazione il fatto che (1) implichi (3) (cosa, come ho detto, nemmeno vera).

Non so se ora è più chiaro, spero di sì

[alfredo14]

Si Martino, mi è chiaro e ti ringrazio.
In sostanza rovesciavo la tesi con l'ipotesi: dalla (1) cercavo di arrivare alla (3). Mentre, invece, occorreva fare il viceversa.

Un'ultimo aiuto, per così dire, tecnico. In genere, quando si vuole dimostrare un limite, si scrive la disequazione:

$|f(x)-l|
e si cerca un intorno completo, destro o sinistro di c (valore a cui tende la x).

Qui, dopo aver scritto la (1), che si deve provare, si va a cercare la (3). Ma prima la si deve trovare. Se ho capito bene (confermami), lo spirito dell'esercizio inerente la dimostrazione di un limite è proprio questo: individuare qual'è la condizione affinchè valga la tesi.
Allora, in questo caso, come mi "invento" io la (3)? Deducendola dalla (2)? Oppure dalla simultanea verifica della (1) e della (2)?

Scusami, non so se è l'ora, ma sono un po' tardo.

Comunque mi stai aiutando molto, e te ne sono grato.
Grazie.

[Studente Anonimo]

"alfredo":Allora, in questo caso, come mi "invento" io la (3)?

Te la inventi e basta

In altre (più chiari) parole, devi andare a vedere se la relazione

(4) $|f(x)-l|
è verificata per valori di x "abbastanza vicini a c" da permettere che la (4) sia verificata. Quindi ipotizzi una qualche vicinanza, per esempio provando a vedere se la condizione "$|x-c|0$ e provi a vedere come devi scegliere $delta$ affinché la (4) sia verificata.

Per esempio se devi dimostrare che il limite di $f(x)=x^2-1$ per x che tende a 2 è 3, fissi $epsilon>0$ e scrivi $|f(x)-3|=|x^2-4|=|x-2|*|x+2|$. Ora, se $|x-2|
(5) $|f(x)-3|=|x-2|*|x+2| < delta(4+delta)$,

quindi scegliendo $delta$ positivo in modo che $delta(4+delta)=epsilon$ (perché in questo modo la (5) porge $|f(x)-3|Non è necessario scegliere questo $delta$, ma sicuramente è sufficiente. Infatti:

$|f(x)-3|=|x-2|*|x+2|<(\sqrt{4+epsilon}-2)(4+\sqrt{4+epsilon}-2)=(\sqrt{4+epsilon}-2)(\sqrt{4+epsilon}+2)=4+epsilon-4=epsilon$

Questo dice che se la distanza di x da 2 è minore di 4 e di $\sqrt{4+epsilon}-2$ (noterai che questa quantità si avvicina a zero con l'avvicinarsi a zero di $epsilon$) allora la distanza di $f(x)$ da 3 è minore di $epsilon$. Quindi possiamo scegliere $delta=\sqrt{4+epsilon}-2$ quando $\sqrt{4+epsilon}-2<4$, e un qualsiasi numero compreso tra 0 e 4 quando $\sqrt{4+epsilon}-2 \geq 4$. Abbiamo finito.

Come vedi in questo esempio non va bene scegliere $delta=epsilon$, in quanto $epsilon(4+epsilon)$ non è minore o uguale ad $epsilon$ per ogni $epsilon$ (anzi, per nessun $epsilon$, ma poco importa).

Prova a rifarti questo ragionamento - so che se è la prima volta che lo vedi può essere ostico, ma credo sia utile ciao.

[alfredo14]

Ciao Martino.
Scusa se rispondo solo ora ma oggi sono stato lontano dal PC tutto il giorno.

Mi leggo la tua risposta con calma, ci ragiono e poi ti faccio sapere.
Intanto grazie.

[alfredo14]

Ciao Martino. Allora, l'ossatura del ragionamento mi è chiara, almeno credo (e spero!).
Ho solo qualche dubbio su un passaggio.
Quando affermi:

Ora, se |x-2|<δ hai che -δ
Non capisco la necessità dire che 0<δ<4. Mi sembra inutile, in quanto partendo dall'ipotesi: |x-2|<δ, attraverso una catena di ragionamenti arrivi a dimostrare che: |x+2|<4+δ. Quindi qual'è la necessità di dire che debba essere 0<δ<4?

[Studente Anonimo]

Ora che me lo fai notare, è vero, non è necessario ipotizzare che delta stia tra 0 e 4. L'ho fatto d'istinto semplicemente perché quando ci sono simboli tipo <, >, $leq$, $geq$ mi fa piacere lavorare con numeri positivi, se posso. Ma non c'è nessuna ragione formale.

[alfredo14]

Allora, per concludere, e se ho capito bene:

1. l'esistenza del limite di una funzione (l), in un dato punto c, è completamente indipendente dal comportamento della funzione in quel punto: ovvero il limite può esistere senza che esista il valore f(c) oppure, (addirittura!) l potrebbe essere diverso da f(c);
2. praticamente, volendo sapere se l è o meno il limite di una funzione al tendere di x a c, si dovrà procedere nel seguente modo: si scrive la disequazione $|f(x)-l| 3. se la disequazione non ammette soluzioni che formino un intorno completo di c, allora l non è il limite di f(x) per x che tende a c.

[Studente Anonimo]

Mi trovo sostanzialmente d'accordo.