Limiti trigonometrici : procedimenti

[Noisemaker]

Ho eseguito alcuni esercizi ;li riporto per avere una verifica e di procedimento e di risultato:

[size=150]1)[/size] $\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\cos\frac{\pi}{n}\cdot \sin \frac{2\pi}{n})\ $

Soluzione:

Sappiamo che : $\sin x
$\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\cos\frac{\pi}{n}\cdot \sin \frac{2\pi}{n})\ \le\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\frac{2\pi}{n}\)\=2\pi$

per confronto dunque :

$\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\cos\frac{\pi}{n}\cdot \sin \frac{2\pi}{n})\ =2\pi$



[size=150]2)[/size] $\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ $

in questo caso osserviamo che:

$|n^2+\sin n\|\le|n^2|+|\sin n\|= n^2+|\sin n\|\le n^2+1$

e

$\sin \frac{2}{n}\le\frac{2}{n}$

Allora si ha:

$\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ \le n^2+1\cdot\frac{2}{n}=\frac{2n^2+2}{n} \rightarrow \+infty$


Dunque si conclude che

$\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ = \+infty$



[size=150]3)[/size] $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\sum_{k=1}^n \cos(2\pi- \frac{1}{k})]\ $

in questo caso, consideriamo la successione $a_n= \cos(2\pi- \frac{1}{n})$: essa è convegente, infatti:

$\lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty}\cos(2\pi- \frac{1}{n})=1$

allora sappiamo che la successione $\lambda_n$ della media aritmetica dei termini di $a_n$ converge allo stesso limite di $a_n$: allora

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\sum_{k=1}^n \cos(2\pi- \frac{1}{k})]\=1 $


[size=150]4)[/size] $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\sum_{k=1}^{n+5} \(\frac{\sin\frac{1}{k}}{\frac{2}{k}})]\ $


consideriamo la successiione $a_n=\(\frac{\sin\frac{1}{k}}{\frac{2}{k}})$: essa è convergente, infatti

$\lim_{n \to \infty}\frac{\sin\frac{1}{k}}{\frac{2}{k}}= \frac{1}{2}$

allora sappiamo che la successione $λ_n$ della media aritmetica dei termini di $a_n$ converge allo stesso limite di $a_n$: allora:

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\sum_{k=1}^{n} \(\frac{\sin\frac{1}{k}}{\frac{2}{k}}) + \frac{\sin\frac{1}{n+1}}{\frac{2}{n+1}}+\frac{\sin\frac{1}{n+2}}{\frac{2}{n+2}}+\frac{\sin\frac{1}{n+3}}{\frac{2}{n+3}}+\frac{\sin\frac{1}{n+4}}{\frac{2}{n+4}}+\frac{\sin\frac{1}{n+5}}{\frac{2}{n+5}}]\ =$

$=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\sum_{k=1}^{n} \(\frac{\sin\frac{1}{k}}{\frac{2}{k}})]\ +\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} [\frac{\sin\frac{1}{n+1}}{\frac{2}{n+1}}+\frac{\sin\frac{1}{n+2}}{\frac{2}{n+2}}+\frac{\sin\frac{1}{n+3}}{\frac{2}{n+3}}+\frac{\sin\frac{1}{n+4}}{\frac{2}{n+4}}+\frac{\sin\frac{1}{n+5}}{\frac{2}{n+5}}]\=\frac{1}{2}+0=$
$=\frac{1}{2}$

[Seneca1]

"Noisemaker":Ho eseguito alcuni esercizi ;li riporto per avere una verifica e di procedimento e di risultato:

[size=150]1)[/size] $\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\cos\frac{\pi}{n}\cdot \sin \frac{2\pi}{n})\ $

Soluzione:

Sappiamo che : $\sin x
$\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\cos\frac{\pi}{n}\cdot \sin \frac{2\pi}{n})\ \le\lim_{n \to \infty}\(n\cdot\frac{2\pi}{n}\)\=2\pi$

per confronto dunque

Veramente non hai "confrontato" un granché. Hai solo dedotto che il limite è $<= 2pi$.

Tuttavia $sin(x) sim x$ per $x -> 0$, quindi $sin(2pi/n) sim 2pi/n$ per $n -> +oo$, ed hai concluso. Il coseno tende ad $1$ quindi non dà problemi.

[Seneca1]

"Noisemaker":
[size=150]2)[/size] $\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ $

[...]

$\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ \le n^2+1\cdot\frac{2}{n}=\frac{2n^2+2}{n} \rightarrow \+infty$

Qui, allo stesso modo, cosa concludi? Sai solo che la tua successione è maggiorata da una successione divergente. Potrebbe avere qualsiasi comportamento.

[Seneca1]

Gli altri due mi sembrano corretti.

[Noisemaker]

.. ti ringrazio ... ora concludo meglio

[Noisemaker]

"Seneca":[quote="Noisemaker"]
[size=150]2)[/size] $\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ $

[...]

$\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\ \le n^2+1\cdot\frac{2}{n}=\frac{2n^2+2}{n} \rightarrow \+infty$

Qui, allo stesso modo, cosa concludi? Sai solo che la tua successione è maggiorata da una successione divergente. Potrebbe avere qualsiasi comportamento.[/quote]
dunque :

$\sin \frac{2}{n} ∼ \frac{2}{n}$ per $n→+∞$, allora

$\lim_{n \to \infty}\[(n^2+\sin n)\cdot\sin \frac{2}{n}]\= \lim_{n \to \infty}(n^2+\sin n)\cdot \frac{2}{n}=\lim_{n \to \infty}2n+\frac{\sin n}{n}= +\infty$

[Seneca1]

Ora va bene.