Limiti trigonometrici con parametri
Salve, chi mi aiuta con questi due limiti?
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2 x^k}\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x^k}\)
Grazie, BruniV
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2 x^k}\)
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x^k}\)
Grazie, BruniV
Risposte
Nessuno se prima non posti qualche tuo tentativo...
Seneca:
Nessuno se prima non posti qualche tuo tentativo...
Ho notato che entrambi sono generalizzazioni di limiti notevoli; in particolare:
per il primo limite:
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2x^k}\dfrac{1+\cos x}{1+ \cos x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin^2 x}{2x^k(1+\cos x)}=\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin^2x}{2(1+\cos x)}\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x^k}\)
Il primo limite torna 0, mentre il secondo torna \(\infty\) per \(k>0\), \(1\) per \(k=0\) e \(0\) per \(k<0\). Il limite di partenza vale quindi \(0\) per \(k\leq 0\) e la forma indeterminata \([0\cdot\infty]\)che non so gestire per \(k>0\).
il secondo discende da \(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1\) quindi:
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x}\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2}{x^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}2(\dfrac{1}{x})^{k-1}\) che vale \(\infty\) per \(k>1\), \(2\) per \(k=1\) e \(0\) per \(k<1\).
Se c'è qualche errore, gradirei una spiegazione.
Grazie, BruniV
Il primo limite lo puoi scrivere come
$\lim_{x\to 0^+} ({\sin x}/{x})^2\cdot 1/4\lim_{x\to 0^+} 1/{x^{k-2}}$
e adesso non dovresti più avere problemi.
$\lim_{x\to 0^+} ({\sin x}/{x})^2\cdot 1/4\lim_{x\to 0^+} 1/{x^{k-2}}$
e adesso non dovresti più avere problemi.