Limiti trigonometrici con parametri

[BruniV1]

Salve, chi mi aiuta con questi due limiti?

\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2 x^k}\)

\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x^k}\)

Grazie, BruniV

[Seneca1]

Nessuno se prima non posti qualche tuo tentativo...

[BruniV1]

Seneca:Nessuno se prima non posti qualche tuo tentativo...

Ho notato che entrambi sono generalizzazioni di limiti notevoli; in particolare:

per il primo limite:
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1-\cos x}{2x^k}\dfrac{1+\cos x}{1+ \cos x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin^2 x}{2x^k(1+\cos x)}=\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin^2x}{2(1+\cos x)}\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x^k}\)
Il primo limite torna 0, mentre il secondo torna \(\infty\) per \(k>0\), \(1\) per \(k=0\) e \(0\) per \(k<0\). Il limite di partenza vale quindi \(0\) per \(k\leq 0\) e la forma indeterminata \([0\cdot\infty]\)che non so gestire per \(k>0\).

il secondo discende da \(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1\) quindi:
\(\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2\sin x}{x}\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{2}{x^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}2(\dfrac{1}{x})^{k-1}\) che vale \(\infty\) per \(k>1\), \(2\) per \(k=1\) e \(0\) per \(k<1\).

Se c'è qualche errore, gradirei una spiegazione.
Grazie, BruniV

[ciampax]

Il primo limite lo puoi scrivere come

$\lim_{x\to 0^+} ({\sin x}/{x})^2\cdot 1/4\lim_{x\to 0^+} 1/{x^{k-2}}$

e adesso non dovresti più avere problemi.