Limiti teorema dei due carabinieri

[luporaptor]

Dimostrare usando il teorema dei due carabinieri che se $ f(x) → 0^+ $
e $ g(x) ≥ M > 0 $ definitivamente per x → x0, allora
$ lim_(x -> x0) f(x)^g(x)=0 $

qualcuno sa come fare tale dimostrazione? sono bloccato grazie

[Bremen000]

Prova a confrontare le due funzioni
$h(x):= f(x)^{g(x)}$
$k(x):= f(x)^M$
quando $x \to x_0$...

[luporaptor]

"Bremen000":Prova a confrontare le due funzioni
$h(x):= f(x)^{g(x)}$
$k(x):= f(x)^M$
quando $x \to x_0$...

ti ringrazio ma ho provato di tutto e non riesco a venirne a capo

[Bremen000]

Non ti darò una risposta completa per ora perché non serve a niente, dovresti cercare di scrivere cosa hai fatto in ogni caso.
Se per $x \to x_0$ hai che $f(x) \to 0^+$, allora “dopo un po’ “ $f(x)$ sarà più grande o più piccola di $1$?

[Bremen000]

Ai posteri:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^{+} \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \exists \delta_{\epsilon} >0 : 0<|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \Rightarrow 0 < f(x) < \epsilon$

Si prenda $\epsilon =1$, esisterà dunque $\delta_{1}$ t.c. se $0<|x-x_0|<\delta_{1}$ allora $0 < f(x) < 1$.

Dunque, se $0<|x-x_0|<\delta_{1}$, si ha che $f(x)^{M} >= f(x)^{g(x)}>0$.

Ovvero, definitivamente vale $ 0 < f(x)^{g(x)} <= f(x)^{M}$.

Siano $h_1(x):= 0 \quad \quad h_2(x) := f(x)^{g(x)} \quad \quad h_3(x):=f(x)^{M}$

Abbiamo che$\lim_{x \to x_0} h_1(x)=0 \quad \quad \lim_{x \to x_0}h_3(x) =0$

e dunque per il teorema dei carabinieri anche $\lim_{x \to x_0} h_2(x) =0$ che è esattamente $\lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)}=0$.