Limiti tendenti ad infinito

[Lucatecnorete]

Salve a tutti, apro quest'altra discussione perchè cerco una conferma sul procedimento usato per risolvere questi limiti. La mia prof non vuole che si usi De L'Hopital in questi esercizi.

Ecco il primo:
$ lim_(n->+oo) ((n^3+n+2)/(n^3+2))^sqrt(n+sen(n)) $

$ lim_(n->+oo) e^ln(((n^3+n+2)/(n^3+2))^sqrt(n+sen(n))) $

$ lim_(n->+oo) e^ln(((n^3(1+0))/(n^3(1+0)))^sqrt(n(1+(sen(n))/n)) $

$ lim_(n->+oo) e^ln((1)^sqrt(n))=1 $

Analogamente il secondo:
$ lim_(x->+oo) nln((n^2+3)/(n^2+2)) $

$ lim_(x->+oo) ln((n^2(1+0))/(n^2(1+0)))^n $

$ lim_(x->+oo) ln(1)^n=0 $

Grazie mille anticipatamente!
Buona serata

[Noisemaker]

"Lucatecnorete": ...La mia prof non vuole che si usi De L'Hopital in questi esercizi.

... giustamente direi ...

[Noisemaker]

I passaggi che hai fatto non sono del tutto corretti:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2} \right)^{\sqrt{n+\sin n}}&=\exp\left[\sqrt{n+\sin n}\ln\left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2} \right)\right]\sim\exp\left[\sqrt{n+\sin n} \left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2}-1 \right)\right]\\
&=\exp\left[\sqrt{n+\sin n} \left(\frac{n}{n^3+2} \right)\right]\sim\exp\left[ \frac{n^{3/2}}{n^3+2} \right]\sim\exp\left[ \frac{1}{n^{3/2}} \right]=1.
\end{align}
Per il secondo
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} n\ln\left(\frac{n^2+3}{n^2+2} \right) \sim \lim_{n\to+\infty} n \left(\frac{n^2+3}{n^2+2} -1\right) =\lim_{n\to+\infty} n \left(\frac{1}{n^2+2} \right)\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n } =0.
\end{align}

[Lucatecnorete]

"Noisemaker":I passaggi che hai fatto non sono del tutto corretti:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2} \right)^{\sqrt{n+\sin n}}&=\exp\left[\sqrt{n+\sin n}\ln\left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2} \right)\right]\sim\exp\left[\sqrt{n+\sin n} \left(\frac{n^3+n+2}{n^3+2}-1 \right)\right]\\
&=\exp\left[\sqrt{n+\sin n} \left(\frac{n}{n^3+2} \right)\right]\sim\exp\left[ \frac{n^{3/2}}{n^3+2} \right]\sim\exp\left[ \frac{1}{n^{3/2}} \right]=1.
\end{align}
Per il secondo
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} n\ln\left(\frac{n^2+3}{n^2+2} \right) \sim \lim_{n\to+\infty} n \left(\frac{n^2+3}{n^2+2} -1\right) =\lim_{n\to+\infty} n \left(\frac{1}{n^2+2} \right)\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n } =0.
\end{align}

Grazie della risposta, unica cosa che non mi è chiara è perchè sostituisci ln(x) con (x-1)...

[Noisemaker]

E' la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che

\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0.\end{align}

[Lucatecnorete]

"Noisemaker":E' la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che

\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0.\end{align}

Grazie davvero! Mi hai fatto scoprire una cosa nuova!

[Noisemaker]

ma no la sapevi sicuramente.

[gugo82]

Probabilmente, la conosceva scritta nella forma:
\[
\ln (1+x) \sim x \quad \text{per } x\to 0\; ;
\]
ma, facendo il cambiamento di variabile \(y=x+1\), si ottiene la stima:
\[
\ln y \sim y-1 \quad \text{per } y\to 1
\]
usata da Noisemaker.

Ad ogni modo, senza usare esponenziali e logaritmi, si trova:
\[
\left( \frac{n^3+n+2}{n^3+2}\right)^{\sqrt{n +\sin n}} = \left( 1+\frac{n}{n^3+2}\right)^{\sqrt{n+\sin n}} = \left[\left( 1+\frac{n}{n^3+2}\right)^{\frac{n^3+2}{n}}\right]^{\frac{n \sqrt{n+\sin n}}{n^3+2}}
\]
sicché al limite:
\[
\lim_n \left( \frac{n^3+n+2}{n^3+2}\right)^{\sqrt{n +\sin n}} = \lim_n \left[\left( 1+\frac{n}{n^3+2}\right)^{\frac{n^3+2}{n}}\right]^{\frac{n \sqrt{n+\sin n}}{n^3+2}} = e^0=1\; .
\]

[Lucatecnorete]

Si in effetti tornando alla formula di prima intendevo dire che che non l'avevo mai usata in questo modo.

Grazie anche a gugo82, credo che la risoluzione che molto probabilmente vorrà la prof sarà proprio questa. Domani chiedo meglio.