Limiti taylor e tanta confusione

[vespapolini]

salve ragazzi sono nuovo in questo forum è volevo qualche delucidazione su come applicare le serie di taylor anche perche la mia prof i limiti li vuole svolti solo con questo metodo per esempio ho questo limite (scusate se sbaglio qualche termine )

$lim_(x->0)(senx)^tanx$

non so se ho scritto bene comunque sarebbe limite tende a 0 di senx elevato a tanx
prima di tutto devo applicare le equivalenze per vedere se rimangono isolati gli o piccoli a N o D quindi io so che senx equivale x+ o(X) pero non so che devo fare con la tan a esponente che equivale a x+ o(X).. Comunque dop che vedo che l'o piccolo viene isolato devo alazare di un ordine la funzione e applico taylor come si fa ?? grazie in anticipo

la stessa cosa vale anche per questo limite -.-


$lim_(x->0) non riesco a scrivere sarebbe radice di radice x+1 (+1 fuori la seconda radice ma dentro a prima) - radice di radice di x -1 fuori la seconda radice dentro la prima) tutto fratto x

[Quinzio]

Questo esercizio va risolto col solito trucco $a^b=e^(b\ \log a)$.
Dopo dovrebbe essere molto più chiaro.

[vespapolini]

Sarebbe taylor?? E l'altro??

[Brancaleone1]

"vespapolini":$lim_(x->0) non riesco a scrivere sarebbe radice di radice x+1 (+1 fuori la seconda radice ma dentro a prima) - radice di radice di x -1 fuori la seconda radice dentro la prima) tutto fratto x

...non ci capisco nulla
prova a guardare la guida per scrivere le formule http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

[vespapolini]

non riesco a scrivere radice di radice

[Brancaleone1]

Clicca su "cita" e guarda come ho scritto:

$sqrt(sqrt(x))$

oppure

$root(2)(root(2)x)$

[21zuclo]

$\lim_{x\to 0} (\sin x)^{\tan x}$

io farei $\exp(\tan x \cdot \ln(\sin x))$

ok ora usa gli sviluppi. Prima sviluppa $\sin x$ dentro al logartimo così ottieni il $\ln(1+x)$ che è per lo sviluppo $\ln(1+x)=x+o(x)$

e sviluppa anche $\tan x$. e poi hai il risultato del limite.

Per l'altro limite non riesco bene capire com'è fatto.

[gugo82]

@ 21zuclo: Come fai a sviluppare con Taylor la funzione \(\log \sin x\) intorno a \(0\)?
Non si può.

Cerca di non confondere le idee agli altri.

[Brancaleone1]

Io svilupperei McLaurin prima, facendo:

$lim_(x ->0^+) (sinx)^(tanx)= (x+o(x))^(x+o(x))=e^(x cdot ln(x))$

e questo è praticamente risolto.

[gugo82]

Constatato che il limite si presenta nella forma indeterminata \(0^0\) (e che il limite va inteso come \(x\to 0^+\), in quanto la funzione sotto il segno di limite è definita solo dove il seno è positivo), sono possibili diverse strade.
Ad esempio:

[*:3isksb3d] esponenziale/logaritmo e limiti notevoli: hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\tan x} &= \lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\frac{\sin x}{\tan x}} \\
&= \lim_{x\to 0^+} \left[ (\sin x)^{\sin x}\right]^{\frac{1}{\cos x}}
\end{split}
\]
e, dato che \(\frac{1}{\cos x}\to 1\) quando \(x\to 1\), ti basta decidere cosa succede alla base della potenza che figura nell'ultimo limite; ma hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\sin x} &\stackrel{y=\sin x}{=} \lim_{y\to 0^+} y^y \\
&= \lim_{yto 0^+} e^{y\ \log y}
\end{split}
\]
quindi, dato che l'esponenziale è una funzione continua, ti basta andare a vedere cosa combina l'esponente; ma è:
\[
\lim_{y\to 0^+} y\ \log y \stackrel{z=-\log y}{=} \lim_{z\to +\infty} \frac{z}{e^z} =0
\]
quindi:
\[
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\sin x} = \lim_{y\to 0^+} e^{y\ \log y} = e^0=1
\]
ed infine:
\[
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\tan x} = \lim_{x\to 0^+} \left[ (\sin x)^{\sin x}\right]^{\frac{1}{\cos x}} =1^1=1\; .
\]

[/*:m:3isksb3d]
[*:3isksb3d] sviluppo di Taylor al primo ordine (cioè limiti notevoli in "versione tayloreggiante"): usando la formula di Taylor al primo ordine, puoi senz'altro scrivere:
\[
\sin x = x+\text{o}(x) = x\ (1+ \text{o}(1)) \qquad \text{e} \qquad \tan x= x+\text{o}(x) =x\ (1+\text{o}(1)) \quad \text{per } x\to 0^+
\]
sicché
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\tan x} &= \lim_{x\to 0^+} \Big[ x\ (1+\text{o}(1))\Big]^{x\ (1+\text{o}(1))} \\
&= \lim_{x\to 0^+} x^{x\ (1+\text{o}(1))}\ (1+\text{o}(1))^{x\ (1+\text{o}(1))}\; ;
\end{split}
\]
dato che la base del secondo fattore tende a \(1\) ed il suo esponente tende a \(0\) e dato che \(1^0\) non è forma indeterminata per la potenza, il secondo fattore del prodotto sotto l'ultimo segno di limite tende a \(1^0=1\); pertanto per sapere qual è il risultato del limite occorre e basta andare a vedere come si comporta il primo fattore, cioè se esiste il:
\[
\lim_{x\to 0^+} x^{x\ (1+\text{o}(1))} = \lim_{x\to 0^+} (x^x)^{1+\text{o}(1)}\; ;
\]
l'esponente esterno della funzione che figura sotto l'ultimo segno di limite tende a \(1\), e la base della potenza (cioè \(x^x\)) pure tende a \(1\) quando \(x\to 0^+\), perciò:
\[
\lim_{x\to 0^+} x^{x\ (1+\text{o}(1))} = 1^1 =1
\]
ed infine:
\[
\lim_{x\to 0^+} (\sin x)^{\tan x} = \lim_{x\to 0^+} x^{x\ (1+\text{o}(1))}\ (1+\text{o}(1))^{x\ (1+\text{o}(1))} =1\cdot 1=1\; .
\][/*:m:3isksb3d][/list:u:3isksb3d]

[21zuclo]

"gugo82":@ 21zuclo: Come fai a sviluppare con Taylor la funzione \(\log \sin x\) intorno a \(0\)?
Non si può.

Cerca di non confondere le idee agli altri.

@gugo82

ah già cavolo! mi sono confuso con gli sviluppi!!.. lo sviluppo del seno ha come primo termine $x$ e non 1.

Chiedo scusa per il mio intervento sbagliato!.. Scusate..mi sono confuso..hai ragione gugo82!

però se fosse stato $ln(\cos x)$ si poteva fare $\ln(1-(x^2)/(2))$ ovviamente per $x\to 0$ ? è per capire!