Limiti Superiori ed inferiori di successioni di insiemi

[Zero87]

Buon giorno, ho questo problema che mi attanaglia da una settimana...

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Se [tex]{E_k}[/tex] è una successione di insiemi si definisce:
- [tex]\lim \sup E_k = \cap_{j=1}^{\infty}(\cup_{k=j}^{\infty}E_k)[/tex] ;
- [tex]\lim \inf E_k = \cup_{j=1}^{\infty}(\cap_{k=j}^{\infty}E_k)[/tex] .

Provare che:
i) il limite superiore è formato dai punti che appartengono ad infiniti [tex]{E_k}[/tex] ed il limite inferiore è formato dai punti che appartengono a tutti gli [tex]{E_k}[/tex] da un certo [tex]k[/tex] in poi;
ii) [tex]\lim \inf E_k \subseteq \lim \sup E_k[/tex] . Mostrare con un esempio che può essere [tex]\lim \inf E_k \ne \lim \sup E_k[/tex] ;
III) [tex](\lim \sup E_k)^c = \lim \inf (E_k^c)[/tex] ;
IV) se [tex]E_k \uparrow E[/tex] oppure [tex]E_k \downarrow E[/tex] allora [tex]lim sup E_k = lim inf E_k = E[/tex] (nel caso in qualche libro di testo vuol dire altro, [tex]E_k \uparrow E[/tex] significa [tex]E_k \subset E_{k+1}[/tex] per ogni [tex]k[/tex] ed [tex]E = \cup E_k[/tex] , l'altro caso è quando invece [tex]E = \cap E_k[/tex] )
V) se [tex]\{E_k\}[/tex] è una successione di insiemi tale che [tex]\displaystyle\sum {m^*(E_k)} < +\infty[/tex], provare che [tex]\lim \sup E_k[/tex] (e anche [tex]\lim \inf E_k[/tex]) ha misura nulla.
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Il punto (i) è facile facile, l'ho riportato per completezza... Per gli altri non ho la più pallida idea

Grazie in anticipo a chiunque fornisca un qualsiasi input

[Zero87]

Per il punto ii) c'è sicuramente da iniziare con "sia [tex]a\in \lim \inf E_k[/tex] ..." e dimostrare che è nel limite superiore per provare l'inclusione...
Per il punto iii) non posso usare le formule di De Morgan altrimenti lo avrei già risolto...
Per il punto iv) non so dove mettere le mani, così come il v).

[Rigel1]

Intanto ti do una traccia per ii) e iii).

ii) Se $x\in "liminf"$, allora $x$ appartiene a tutti gli $E_k$ con $k\ge k_0$ (per un certo $k_0$), quindi appartiene ad infiniti $E_k$, quindi sta in limsup.
Per vedere che possono essere diversi, fissa un insieme $E\ne\emptyset$ e scegli $E_{2k} = E$, $E_{2k+1} = \emptyset$ per ogni $k\in NN$.

iii) $x\in ("limsup" E_k)^c$ se e solo se (sse) $x$ appartiene a un nr. finito di $E_k$
sse $\exists k_0\in NN$ t.c. $x\in E_k^c$ per ogni $k\ge k_0$
sse $x\in "liminf" E_k^c$.

[Rigel1]

iv) Supponiamo $E_k\subset E_{k+1}$ per ogni $k$, e sia $E = \bigcup E_k$.
Allora $\bigcup_{k=j}^{\infty} E_k = E$, mentre $\bigcap_{k=j}^{\infty} E_k = E_j$.
Quindi $"limsup" E_k = \bigcap_j E = E$, $"liminf" E_k = \bigcup_j E_j = E$.
Analogamente se $E_{k+1}\subset E_k$ per ogni $k$.

[Zero87]

Grazie mille, soprattutto per il punto iii) che non mi faceva più neanche dormire la notte...

[Rigel1]

Per v) ci provo, non è detto che sia la soluzione più rapida.

[Suppongo che $m^{**}$ indichi la misura esterna di Lebesgue in $R^n$.]

Per ogni $k$ esiste un insieme aperto $A_k$ t.c $E_k\subset A_k$ e $m^{**}(A_k\setminus E_k) < 2^{-k}$; in questo modo si ha che
$"limsup" E_k \subset "limsup" A_k$ (per ovvi motivi), e inoltre $\sum m(A_k) < +\infty$.
Indichiamo con $\chi_k$ la funzione caratteristica di $A_k$, e sia $f = \sum_k \chi_k$.
Abbiamo che
$\sum m(A_k) = \sum \int \chi_k = \int \sum \chi_k = \int f$.
Inoltre $f\ge 0$, e più precisamente
$f(x) = #\{k\in NN: x\in A_k\}$, dove $#A$ indica la cardinalità dell'insieme $A$.
Poiché $\int f < +\infty$, abbiamo che $f(x)$ è finita per quasi ogni $x$; in altre parole, esiste un insieme di misura nulla $N$ tale che $f(x) = +\infty$ se $x\in N$, mentre $f(x) < +\infty$ se $x\in N^c$.
D'altra parte, $x\in "limsup" A_k$ sse $x$ appartiene a infiniti $A_k$, cioè sse $f(x) = +\infty$.
Di conseguenza, $"limsup" A_k = N$, e dunque ha misura nulla.