Limiti successioni

[francicko]

Come si puo' calcolare il limite di successione del tipo:
$a_0=i $ con $i $ $in$ $N $, ed $a_(n+1)=sqrt(1+a_n) $,
Per esempio $a_0=1$, $a_1=sqrt (1+1) $, $a_2=sqrt (1+sqrt (2)) $ e così via

[Pierlu11]

Supponiamo che il limite esista finito e chiamiamo $ L=lim_(n->infty)a_n $ , allora da $ a_(n+1)=sqrt(1+a_n) $ passiamo ai limiti e otteniamo
$ lim_(n->infty)a_(n+1)=lim_(n->infty)sqrt(1+a_n) $ ;
$ L=sqrt(1+L) $ ;
$ L^2-L-1=0 $
da cui $ L_(1,2)=(1+-sqrt(5))/2 $ dei quali è accettabile solo $ L=(1+sqrt(5))/2 $ visto che i termini della successione sono tutti positivi e il limite non può essere negativo.

[francicko]

Ottima spiegazione!!
Grazie!!

[Studente Anonimo]

Mi dispiace deluderti ma, l'esercizio è tutt'altro che terminato. Anzi, la parte probabilmente più impegnativa deve ancora venire. Come Pierlu11 aveva correttamente ipotizzato, devi ancora dimostrare che la successione converge. In matematica, purtroppo o per fortuna, non si possono lasciare le cose a metà.

Per $[i=0,1]$ la successione è non decrescente (principio di induzione):

Passo 1: $[a_1 gt= a_0] harr [sqrt(1+i) gt= i] harr [0 lt= i lt= (1+sqrt5)/2] harr [i=0,1]$

Passo 2: $[a_(n+1) gt= a_n] rarr [1+a_(n+1) gt= 1+a_n] rarr [sqrt(1+a_(n+1)) gt= sqrt(1+a_n)] rarr [a_(n+2) gt= a_(n+1)]$

Inoltre, è superiormente limitata (principio di induzione):

Passo 1: $[a_0 lt= (1+sqrt5)/2] harr [0 lt= (1+sqrt5)/2] ^^ [1 lt= (1+sqrt5)/2]$

Passo 2: $[a_n lt= (1+sqrt5)/2] rarr [1+a_n lt= (3+sqrt5)/2] rarr [sqrt(1+a_n) lt= sqrt((3+sqrt5)/2)] rarr$

$rarr [a_(n+1) lt= sqrt((3+sqrt5)/2)=(1+sqrt5)/2]$

Ergo, la successione è convergente.

Per $[i=2,3,...]$ la successione è non crescente (principio di induzione):

Passo 1: $[a_1 lt= a_0] harr [sqrt(1+i) lt= i] harr [i gt= (1+sqrt5)/2] harr [i=2,3,...]$

Passo 2: $[a_(n+1) lt= a_n] rarr [1+a_(n+1) lt= 1+a_n] rarr [sqrt(1+a_(n+1)) lt= sqrt(1+a_n)] rarr [a_(n+2) lt= a_(n+1)]$

Inoltre, essendo a termini non negativi, è inferiormente limitata.

Ergo, la successione è convergente.

In definitiva, la successione è convergente per $[AA i in NN]$ e $[lim_(n->+oo)a_n=(1+sqrt5)/2]$.