Limiti successione di funzioni

[Regulus1]

Salve a tutti, ho dei problemi con la risoluzione di questo limite. Non so bene come impostare l'esercizio e credo che il mio tentativo sia sbagliato. La consegna è:

Calcolare per \(n\) che tende a \( +\infty \) il limite della seguente successione:

\[ \int_1^2{\frac{nx}{\left(1+x^{4}\right)\left(n^{3}x^{2}+1\right)}dx} \]

La mia idea era quella di verificare la convergenza uniforme della funzione integranda, per poi poter applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (limite dell'integrale = integrale del limite). Il limite puntuale della funzione dovrebbe essere \( f(x) = 0\), ma non riesco a dimostrare che è anche il limite di convergenza uniforme.

Qualcuno può aiutarmi?

[ciampax]

Ma non fai prima a usare il teorema della convergenza dominata? Fai vedere che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)$ su $[1,2]$ e trovi una funzione $g:[1,2]\to RR$ per cui $|f_n(x)|\le g(x)$ per ogni $x\in[1,2]$, e per ogni $n\in NN$. Se riesci a fare questo, allora puoi scambiare limite ed integrale.

P.S.: in questo modo ti basta verificare la convergenza puntuale.

[Regulus1]

Grazie per la risposta. Probabilmente farei prima, ma non abbiamo fatto questo teorema nel nostro corso di Analisi II...

[ciampax]

Capisco: bé, in ogni caso, la cosa non mi pare complicata: devi calcolare il massimo di $|f_n(x)-f(x)|$ su $[1,2]$ e detto esso $a_n$ verificare che $\lim_{n\to+\infty} a_n=0$. Credo siano solo un po' di conti.

[Regulus1]

Sì, ho provato a fare questi conti, ma il risultato non mi convince.

Posto [tex]f(x) = 0[/tex] (credo che questo sia giusto), [tex]|f_{n}(x) - f(x)| = |f_{n}(x)|[/tex].

Facendo la derivata prima, dopo molti conti, giungo a:

\[\frac{-n\left(5n^{3}x^{6} + 3x^{4} + n^{3}x^{2} - 1\right)}{\left(1 + x^{4}\right)^{2}\left(n^{3}x^{2} + 1\right)^{2}}\]

A questo punto mi blocco. Magari è un errore stupido, ma questa derivata si annulla per qualche punto?

[ciampax]

Mmmmm, effettivamente non è molto pratico. Ma puoi ragionare così: dal momento che $x\in[1,2]$ allora

$nx<2n$
$1/{1+x^2}<1/2$
$1/{n^3 x^2+1}<1/{n^3+1}$

pertanto $|f_n(x)|<{n}/{n^3+1}$ che ha limite zero. Per cui anche il sup ha limite zero.

[Regulus1]

Benissimo, ti ringrazio molto. Posso fare lo stesso ragionamento per:

\[\int_{0}^{1}{\frac{e^{-nx}}{n^{2}+x^{2}}dx}\]

dicendo che [tex]f(x) = 0[/tex] e che, poiché [tex]0

Cita

Segnala

[ciampax]

Potresti addirittura far sparire l'esponenziale: $e^{-nx}<1$ su quell'intervallo$. Comunque sì, molto spesso le maggiorazioni possono aiutare.

[Regulus1]

Ho capito, grazie mille per l'aiuto!