Limiti, succesioni e serie
Ciao!
Ho seri problemi coi limiti di successioni nel senso che non capisco le definizioni. Per esempio:
SUCCESSIONE $a_n$ CONVERGENTE AD $a$
Diremo che una successione $a_n$ tende ad un numero reale $a$ ($a_n$ converge ad $a$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = a$, se, per ogni numero reale $\epsilon > 0$, esiste un numero $N$ tale che $|a_n - a| < \epsilon$, per ogni $n > N$.
SUCCESSIONE $a_n$ DIVERGENTE A $\+infty$
Diremo che una successione $a_n$ tende a $\+infty$ ($a_n$ diverge a $\+infty$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = \+infty$, se, per ogni numero reale $M > 0$, esiste un numero $N$ tale che $a_n > M$, per ogni $n > N$.
SUCCESSIONE $a_n$ DIVERGENTE A $\-infty$
Diremo che una successione $a_n$ tende a $\-infty$ ($a_n$ diverge a $\-infty$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = \-infty$, se, per ogni numero reale $M > 0$, esiste un numero $N$ tale che $a_n < -M$, per ogni $n > N$.
Cosa vogliono dire in parole povere? Le ho lette e rilette mille volte ma niente, non voglio impararle a memoria, voglio capirle! Ho provato a fare anche esercizi sperando che così fossero più comprensibili ma nulla...
Esempio: Utilizzando la definizione di limite, verificare che $\lim_{n \to \+infty}(n/(2n+5)) = 1/2$.
In questo caso $a_n$ è convergente quindi riguarda il primo caso e sostituendo i dati nella definizione ottengo:
$|n/(2n+5) - 1/2| < \epsilon => 5/(4n+5) < \epsilon$.
Ora trovo la $n$: $n > 5/(4\epsilon) -5/2$.
Fin qui ci sono. Poi il libro segue dicendo: "Ponendo $N = 5/(4\epsilon) -5/2$ abbiamo verificato che per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ per cui $|a_n - 1/2| < \epsilon$ per ogni $n>N$". Questo pezzo non l'ho capito.
In seguito dimostra che se il lim di una successione esiste, questo è unico e come esempio svolge lo stesso esercizio di prima ponendo però: $\lim_{n \to \+infty}(n/(2n+5)) = 1$. Bo io non ho capito.
Devo usare la definizione e arrivo a trovare $n$ e poi come dico che questa soddisfa o non soddisfa le richieste? Non capisco cosa sono $\epsilon$, $n$, $N$ ed $M$.
Inoltre qual'è la differenza tra successione e serie? So che è un argomento vastissimo...
P.S: Scusate se mi sono dilungata ma non ce la faccio più, non so da chi farmi aiutare.. Sono mesi che studio queste cose ma non le ho ancora capite.. Sto studiando su appunti, dispense del prof e su altri due libri ma niente (devo essere proprio cretina
). Avete qualche testo facile da comprendere da consigliarmi?
Grazie in anticipo!
Ho seri problemi coi limiti di successioni nel senso che non capisco le definizioni. Per esempio:
SUCCESSIONE $a_n$ CONVERGENTE AD $a$
Diremo che una successione $a_n$ tende ad un numero reale $a$ ($a_n$ converge ad $a$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = a$, se, per ogni numero reale $\epsilon > 0$, esiste un numero $N$ tale che $|a_n - a| < \epsilon$, per ogni $n > N$.
SUCCESSIONE $a_n$ DIVERGENTE A $\+infty$
Diremo che una successione $a_n$ tende a $\+infty$ ($a_n$ diverge a $\+infty$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = \+infty$, se, per ogni numero reale $M > 0$, esiste un numero $N$ tale che $a_n > M$, per ogni $n > N$.
SUCCESSIONE $a_n$ DIVERGENTE A $\-infty$
Diremo che una successione $a_n$ tende a $\-infty$ ($a_n$ diverge a $\-infty$), e scriveremo $\lim_{n \to \+infty}a_n = \-infty$, se, per ogni numero reale $M > 0$, esiste un numero $N$ tale che $a_n < -M$, per ogni $n > N$.
Cosa vogliono dire in parole povere? Le ho lette e rilette mille volte ma niente, non voglio impararle a memoria, voglio capirle! Ho provato a fare anche esercizi sperando che così fossero più comprensibili ma nulla...
Esempio: Utilizzando la definizione di limite, verificare che $\lim_{n \to \+infty}(n/(2n+5)) = 1/2$.
In questo caso $a_n$ è convergente quindi riguarda il primo caso e sostituendo i dati nella definizione ottengo:
$|n/(2n+5) - 1/2| < \epsilon => 5/(4n+5) < \epsilon$.
Ora trovo la $n$: $n > 5/(4\epsilon) -5/2$.
Fin qui ci sono. Poi il libro segue dicendo: "Ponendo $N = 5/(4\epsilon) -5/2$ abbiamo verificato che per ogni $\epsilon >0$ esiste $N$ per cui $|a_n - 1/2| < \epsilon$ per ogni $n>N$". Questo pezzo non l'ho capito.
In seguito dimostra che se il lim di una successione esiste, questo è unico e come esempio svolge lo stesso esercizio di prima ponendo però: $\lim_{n \to \+infty}(n/(2n+5)) = 1$. Bo io non ho capito.
Devo usare la definizione e arrivo a trovare $n$ e poi come dico che questa soddisfa o non soddisfa le richieste? Non capisco cosa sono $\epsilon$, $n$, $N$ ed $M$.
Inoltre qual'è la differenza tra successione e serie? So che è un argomento vastissimo...
P.S: Scusate se mi sono dilungata ma non ce la faccio più, non so da chi farmi aiutare.. Sono mesi che studio queste cose ma non le ho ancora capite.. Sto studiando su appunti, dispense del prof e su altri due libri ma niente (devo essere proprio cretina
). Avete qualche testo facile da comprendere da consigliarmi?Grazie in anticipo!
Risposte
Io ho sempre suggerito di studiare prima la definizione di limite con gli intorni, cioè
$lim_(n -> +oo) a_n = a$ se per ogni intorno $U$ di $a$ esiste un indice $N$ tale che $a_n \in U$ per ogni $n > N$.
Immagina di aver collocato gli infiniti punti della tua successione ed il punto $a$ sulla retta reale (sono numeri reali "indiciati"). $a$ è il limite di $a_n$ per $n -> +oo$ se, fissato un qualunque intorno $U$ di $a$, (cioè un intervallo aperto che contiene $a$) esiste un indice $N$ tale che i punti della successione, da quell'indice $N$ in poi, cadono nell'intervallino $U$.
E' importante notare che $N$ è scelto dipendentemente dalla scelta di $U$; la definizione infatti recita: fissato $U$ ... esiste $N$ tale che ...
$lim_(n -> +oo) a_n = a$ se per ogni intorno $U$ di $a$ esiste un indice $N$ tale che $a_n \in U$ per ogni $n > N$.
Immagina di aver collocato gli infiniti punti della tua successione ed il punto $a$ sulla retta reale (sono numeri reali "indiciati"). $a$ è il limite di $a_n$ per $n -> +oo$ se, fissato un qualunque intorno $U$ di $a$, (cioè un intervallo aperto che contiene $a$) esiste un indice $N$ tale che i punti della successione, da quell'indice $N$ in poi, cadono nell'intervallino $U$.
E' importante notare che $N$ è scelto dipendentemente dalla scelta di $U$; la definizione infatti recita: fissato $U$ ... esiste $N$ tale che ...
Grazie per la risposta! Non è comunque chiaro come vorrei ma pian piano spero di capire..
Allora cerco di essere più chiaro: la prima definizione che hai scritto dice sostanzialmente che, al crescere di $n$, la distanza tra $a_n$ e $a$ diventa "piccola"; "piccola" nel senso che comunque fissi un intervallo centrato in $a$ $I = (a - \epsilon , a + \epsilon)$, da un certo indice in poi i punti della successione cadranno in $I$.
Prendi $a_n = 1/n$: verifichiamo che $lim_(n -> +oo) a_n = 0$. Fissi un intorno (di ampiezza arbitraria $\epsilon > 0$) di $0$, $I = (- epsilon , epsilon )$; devi trovare un indice $N$ tale che $a_n$ cada nell'intervallo fissato $I$ per tutti gli $n > N$ (cioè trovare $N$ tale che $|a_n - 0| < \epsilon$ per ogni $n > N$).
Prendi $a_n = 1/n$: verifichiamo che $lim_(n -> +oo) a_n = 0$. Fissi un intorno (di ampiezza arbitraria $\epsilon > 0$) di $0$, $I = (- epsilon , epsilon )$; devi trovare un indice $N$ tale che $a_n$ cada nell'intervallo fissato $I$ per tutti gli $n > N$ (cioè trovare $N$ tale che $|a_n - 0| < \epsilon$ per ogni $n > N$).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo