Limiti sinistro e destro
Prima di andare a nanna vorrei scrivere sul questo forum per levarmi dei dubbi. Mi trovo davanti dei limiti (molto banali) del tipo:
$lim_(x to 1^+) 1/(x^2-1)$
$lim_(x to 1^-) 1/(x^2-1)$
ovvero dei limiti in cui mi si chiede di studiare cosa succede alla destra e alla sinistra di un punto $x_0$.Ora i due limiti risultano rispettivamente: $+oo$ e $-oo$. questo l'ho dedotto semplicemente studiando il segno della funzione.infatti alla sinistra di $1$ la funzione assume segno negativo mentre alla destra di $1$ assume segno positivo.E fin qui tutto ok. Ma in molte funzioni incontrate studiare il segno non è molto facile se non dire conveniente. Per esempio si prenda il caso:
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))$
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))$
in questi due limiti studiare la funzione non è cosa semplice e quindi come posso arrivare al risultato dei limiti o meglio dire al segno?Perchè si può benissimo calcolare che il risultato dei due limiti è $oo$ ma un $oo$ negativo o positivo? Di esempi di questo genere ce ne sono parecchi ovvero in cui si chiede di trovare il comportamento a destra e a sinistra di un un punto.
$lim_(x to 1^+) 1/(x^2-1)$
$lim_(x to 1^-) 1/(x^2-1)$
ovvero dei limiti in cui mi si chiede di studiare cosa succede alla destra e alla sinistra di un punto $x_0$.Ora i due limiti risultano rispettivamente: $+oo$ e $-oo$. questo l'ho dedotto semplicemente studiando il segno della funzione.infatti alla sinistra di $1$ la funzione assume segno negativo mentre alla destra di $1$ assume segno positivo.E fin qui tutto ok. Ma in molte funzioni incontrate studiare il segno non è molto facile se non dire conveniente. Per esempio si prenda il caso:
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))$
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))$
in questi due limiti studiare la funzione non è cosa semplice e quindi come posso arrivare al risultato dei limiti o meglio dire al segno?Perchè si può benissimo calcolare che il risultato dei due limiti è $oo$ ma un $oo$ negativo o positivo? Di esempi di questo genere ce ne sono parecchi ovvero in cui si chiede di trovare il comportamento a destra e a sinistra di un un punto.
Risposte
$lim_(x to 1^+) 1/(x^2-1)=lim_(x to 1^+) 1/((x-1)(x+1)) $ sostituendo ottieni $1/((1^+ -1)(1^+ +1))=1/(0^+*2^+)=1/0^+=+oo$ perchè anche con zeri e infiniti vale la regola dei segni.
Un purista inorridirebbe a vedere quello che ho scritto, soprattutto quando ho parlato di sostituzioni, al posto di $1^+$ avrei dovuto scrivere $lim_(x to 1^+) x$, ma in pratica le cose funzionano come se si facesse una sostituzione.
Così se nel limite vai a sostituire
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))=log(|1^+|/sqrt(|1^+ -1|))=log(1^+/0^+)=log(+oo)=+oo$
Un purista inorridirebbe a vedere quello che ho scritto, soprattutto quando ho parlato di sostituzioni, al posto di $1^+$ avrei dovuto scrivere $lim_(x to 1^+) x$, ma in pratica le cose funzionano come se si facesse una sostituzione.
Così se nel limite vai a sostituire
$lim_(x to 1^+) log(|x|/sqrt(|x^2-1|))=log(|1^+|/sqrt(|1^+ -1|))=log(1^+/0^+)=log(+oo)=+oo$
"@melia":
$lim_(x to 1^+) 1/(x^2-1)=lim_(x to 1^+) 1/((x-1)(x+1)) $ sostituendo ottieni $1/((1^+ -1)(1^+ +1))=1/(0^+*2^+)=1/0^+=+oo$ perchè anche con zeri e infiniti vale la regola dei segni.
Un purista inorridirebbe a vedere quello che ho scritto, soprattutto quando ho parlato di sostituzioni, al posto di $1^+$ avrei dovuto scrivere $lim_(x to 1^+) x$, ma in pratica le cose funzionano come se si facesse una sostituzione.
Non mi ritengo un purista al 100%, ma, se proprio devo essere sincero, resto un po' perplesso...
Una curiosità: lo insegni ai tuoi studenti?
franced:
[quote=@melia]$lim_(x to 1^+) 1/(x^2-1)=lim_(x to 1^+) 1/((x-1)(x+1)) $ sostituendo ottieni $1/((1^+ -1)(1^+ +1))=1/(0^+*2^+)=1/0^+=+oo$ perchè anche con zeri e infiniti vale la regola dei segni.
Un purista inorridirebbe a vedere quello che ho scritto, soprattutto quando ho parlato di sostituzioni, al posto di $1^+$ avrei dovuto scrivere $lim_(x to 1^+) x$, ma in pratica le cose funzionano come se si facesse una sostituzione.
Non mi ritengo un purista al 100%, ma, se proprio devo essere sincero, resto un po' perplesso...
Una curiosità: lo insegni ai tuoi studenti?[/quote]
E' vero, è un passaggio che (forse) può confondere le idee, perchè nel caso che $x to 1^+$, elevando al quadrato l'$1^+$
si rafforza il concetto del denominatore che tende a $0^$. Per es. se $x=1,01$, $x^2=1,02$, dunque $f(x)=x^2-1$ si discosta di più da zero, ovvero si avvicina a zero più lentamente e $f(x)=1/(x^2-1)$ ha ci mette di più per andare a $+infty$. Mi dà l'impressione che così sia più comprensibile, non so se mi sono spiegato...
"Marco512":
Per es. se $x=1,01$, $x^2=1,02$, dunque $f(x)=x^2-1$ si discosta di più da zero, ovvero si avvicina a zero più lentamente e $f(x)=1/(x^2-1)$ ha ci mette di più per andare a $+infty$. Mi dà l'impressione che così sia più comprensibile, non so se mi sono spiegato...
Ecco il tuo ragionamento l'ho sentito pià volte fare dai miei prof.ma non l'avevo capito.Potresti farmi altri esempi?
"Marco512":
E' vero, è un passaggio che (forse) può confondere le idee, perchè nel caso che $x to 1^+$, elevando al quadrato l'$1^+$
si rafforza il concetto del denominatore che tende a $0^$. Per es. se $x=1,01$, $x^2=1,02$, dunque $f(x)=x^2-1$ si discosta di più da zero, ovvero si avvicina a zero più lentamente e $f(x)=1/(x^2-1)$ ha ci mette di più per andare a $+infty$. Mi dà l'impressione che così sia più comprensibile, non so se mi sono spiegato...
$(0,1)^2 = 0,01$
Il concetto di infinitesimo si usa per $x \to 0$... Con il cambio di variabile $x = y+1$ ricaviamo $x^2 - 1 = (y+1)^2 -1= y^2 +2y +1-1 = y^2 + 2y$. Quindi $f(x)=x^2-1$ va a zero in uno come $g(y)=y^2+2y$ ci va in $0$.
$x^2$ va a zero più velocemente semplicemente perché il limite per $x\to 0$ del rapporto $x^2/x$ è zero.
"vict85":
[quote="Marco512"]
E' vero, è un passaggio che (forse) può confondere le idee, perchè nel caso che $x to 1^+$, elevando al quadrato l'$1^+$
si rafforza il concetto del denominatore che tende a $0^$. Per es. se $x=1,01$, $x^2=1,02$, dunque $f(x)=x^2-1$ si discosta di più da zero, ovvero si avvicina a zero più lentamente e $f(x)=1/(x^2-1)$ ha ci mette di più per andare a $+infty$. Mi dà l'impressione che così sia più comprensibile, non so se mi sono spiegato...
$(0,1)^2 = 0,01$
Il concetto di infinitesimo si usa per $x \to 0$... Con il cambio di variabile $x = y+1$ ricaviamo $x^2 - 1 = (y+1)^2 -1= y^2 +2y +1-1 = y^2 + 2y$. Quindi $f(x)=x^2-1$ va a zero in uno come $g(y)=y^2+2y$ ci va in $0$.
$x^2$ va a zero più velocemente semplicemente perché il limite per $x\to 0$ del rapporto $x^2/x$ è zero.[/quote]
Con questo ragionamento il discorso mi è più chiaro. Ma è attuabile solamente se $x to 0$?
Riguardo alla funzione originaria, cioè $ log(|x|/\sqrt(|x^2-1|) )$ opererei in un'altra maniera, cioè
1) analizzo il valore assoluto, sicché la funzione diventa (considero solo i casi per $x>0$)
$ log(|x|/\sqrt(|x^2-1|) )={(log((x)/\sqrt(x^2-1)), if x > 1), (log((x)/\sqrt(1-x^2)), if 0
2) studio ora il segno di queste due funzioni, cioè
$ log((x)/\sqrt(x^2-1))>0 $ solo per ogni $ x>1 $ e $log((x)/\sqrt(1-x^2))>0 $ solo per ogni $ \sqrt(2)/2
Quindi $ \lim_{x \to 1^{+}}log((x)/\sqrt(x^2-1))=\lim_{x \to 1^{-}}log((x)/\sqrt(1-x^2))=+\infty $
1) analizzo il valore assoluto, sicché la funzione diventa (considero solo i casi per $x>0$)
$ log(|x|/\sqrt(|x^2-1|) )={(log((x)/\sqrt(x^2-1)), if x > 1), (log((x)/\sqrt(1-x^2)), if 0
2) studio ora il segno di queste due funzioni, cioè
$ log((x)/\sqrt(x^2-1))>0 $ solo per ogni $ x>1 $ e $log((x)/\sqrt(1-x^2))>0 $ solo per ogni $ \sqrt(2)/2
Quindi $ \lim_{x \to 1^{+}}log((x)/\sqrt(x^2-1))=\lim_{x \to 1^{-}}log((x)/\sqrt(1-x^2))=+\infty $
"mazzy89":
Con questo ragionamento il discorso mi è più chiaro. Ma è attuabile solamente se $x to 0$?
Si e no. Cioé la teoria è più generale, vedi qui... http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
Ho messo quel commento solo perché $lim_{x \to 1}(2x-2)/(x^2-1)=1$ anche se da come ne aveva parlato marco sembrava che fosse $oo$...
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