Limiti senza uso di del'hopital ,mac laurin..

[Ugo921]

Ciao a tutti.. ho un problema nella risoluzione di questi due limiti con strumenti basilari... con del'hopital vengono semplici...
Eccoli:

$lim_(x->1)(x*sin(3\pix))/(e^5(e^(5x^2-5)-1))$

$lim_(x->-infty)(sqrt(x^2-2)-x)/(xarctg(x^2))$

Li ho provati entrambi.. il primo con cercando di riportarmi ai limiti notevoli ma non riesco a eliminare la indeterminazione di (5x^2-5)..

Il secondo ho provato con una razionalizzazione e con un cambio di variabile (y = 1/ x) cercando di ottenere nella radice il suo limite notevole, ma viene un +1 invece che un -1...

Grazie per le eventuali risposte!

[Hadronen]

Il primo si risolve facilmente utilizzando lo sviluppo di Taylor al primo ordine di $e^x$ ... ( o non puoi usare neanche Taylor ? )

Mi ricorda il mio prof. di Analisi 1 e 4 questa restrizione nell'usare De L'Hospital... Diceva che era una cosa stupida e che comunque ogni limite poteva essere risolto senza tale teorema. Va bene, sono d'accordo. Peccato che non erano d'accordo i prof. delle restanti Analisi: quando al compito d'esame passavi un'ora su un limite che con De L'Hospital avresti risolto in meno di mezzo minuto poi sì che partivano insulti.
Purtroppo ormai rassegnati al modus operandi da lui imposto neanche ci veniva in mente di usare De L'Hospital... ehehe!
Sara' vero che le restrizioni acuiscono l'ingegno... ?

[Ugo921]

Grazie per la risposta che condivido in parte.. cmq anche Taylor non è accettabile...

[Sk_Anonymous]

Il secondo si risolve con un classico "trucchetto": \[\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{ \sqrt{x^{2} -2} - x}{x \arctan(x^2)}=\lim_{x \to -\infty} \frac{-x(\sqrt{1 - 2/x^2} +1)}{x \arctan(x^2)}=-\frac{4}{\pi} \]