Limiti risolubili con la formula di Taylor
Ciao a tutti! A breve avrò l'esame di Analisi 1! Pensavo di essere abbastanza preparato, in quanto 2 mesi fa, al termine dei corsi, riuscivo a fare praticamente ogni esercizio che trovavo sul libro, però ora, a 2 giorni dall'esame, non avendo fatto alcun esercizio di analisi da 2 mesi per studiare per altri esami, non riesco più a fare alcuni tipi di esercizi D:
Alcuni limiti, infatti, non riesco a risolverli. Al compito di sicuro uscirà un limite risolubile con la formula di Taylor, ma ho dei dubbi enormi su di essi... Faccio un esempio:
$ lim_(x->0) (ln(1+xarctanx) -e^(x^2) +1)/(sqrt(1+2x^4) -1 $
Il risultato è $ -4/3 $ , ma io non so risolverlo, nonostante creda di saper sviluppare bene le serie di Taylor.
Ho dei dubbi su come posso fare per sviluppare $ ln(1+xarctanx) $ ... Ad esempio, cosa sviluppo prima? $ xarctanx $ o il logaritmo? Inoltre, dove mi devo fermare se sviluppo prima uno dei due? Non riesco a capire cosa sviluppare prima e fino a quale ordine... Praticamente in ogni limite che trovo ci sono cose del genere!
Io ho provato a fare così, comunque: conoscendo gli sviluppi di Taylor, ho sviluppato il denominatore così:
$ 1+1/2*4x^8 + o(x^8) - 1= 2x^8 + o(x^8) $ .
Il numeratore, invece l'ho sviluppato così:
$ x^2 - x^4/3 -1-x^2-x^4/2 +1=-5/6x^4 + o(x^5) $
ossia sviluppando prima il logaritmo così:
$ ln(1+xarctanx)=xarctanx + o(xarctanx) $
e poi sviluppando l'arco tangente così:
$ xarctanx=x^2 - x^4/3 + o(x^5) $
Non mi trovo, però, con il risultato... So di aver sbagliato probabilmente nella scelta dell'ordine dello sviluppo delle serie... Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come fare quando mi ritrovo cose del tipo $ ln(1+xarctanx) $ , o altre, come ad esempio quelle in questo limite:
$ lim_(x->0) (e^(xcosx) - ln^2(1+sqrtx) -1)/(x^2sen^2(ln(1+sqrtx)) $
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi tipo di aiuto!
Alcuni limiti, infatti, non riesco a risolverli. Al compito di sicuro uscirà un limite risolubile con la formula di Taylor, ma ho dei dubbi enormi su di essi... Faccio un esempio:
$ lim_(x->0) (ln(1+xarctanx) -e^(x^2) +1)/(sqrt(1+2x^4) -1 $
Il risultato è $ -4/3 $ , ma io non so risolverlo, nonostante creda di saper sviluppare bene le serie di Taylor.
Ho dei dubbi su come posso fare per sviluppare $ ln(1+xarctanx) $ ... Ad esempio, cosa sviluppo prima? $ xarctanx $ o il logaritmo? Inoltre, dove mi devo fermare se sviluppo prima uno dei due? Non riesco a capire cosa sviluppare prima e fino a quale ordine... Praticamente in ogni limite che trovo ci sono cose del genere!
Io ho provato a fare così, comunque: conoscendo gli sviluppi di Taylor, ho sviluppato il denominatore così:
$ 1+1/2*4x^8 + o(x^8) - 1= 2x^8 + o(x^8) $ .
Il numeratore, invece l'ho sviluppato così:
$ x^2 - x^4/3 -1-x^2-x^4/2 +1=-5/6x^4 + o(x^5) $
ossia sviluppando prima il logaritmo così:
$ ln(1+xarctanx)=xarctanx + o(xarctanx) $
e poi sviluppando l'arco tangente così:
$ xarctanx=x^2 - x^4/3 + o(x^5) $
Non mi trovo, però, con il risultato... So di aver sbagliato probabilmente nella scelta dell'ordine dello sviluppo delle serie... Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come fare quando mi ritrovo cose del tipo $ ln(1+xarctanx) $ , o altre, come ad esempio quelle in questo limite:
$ lim_(x->0) (e^(xcosx) - ln^2(1+sqrtx) -1)/(x^2sen^2(ln(1+sqrtx)) $
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi tipo di aiuto!
Risposte
lo sviluppo del denominatore è errato (viene $1+x^4+o(x^4)-1$...) al denominatore è sbagliato anche (nel primo pezzo sviluppato hai un $o(x^2)$ perciò non puoi fermarti ne tantomeno scrivere quello che hai scritto)
prova ad arrivare al secondo ordine nel logaritmo
prova ad arrivare al secondo ordine nel logaritmo
Ehy, hai ragione! Grazie mille Ho controllato per sicurezza la tabella delle serie di Taylor che ho ed ho notato che è sbagliata la serie $ sqrt(1+x) $ ! Il limite, alla fine, mi venuto. Il denominatore è venuto, come hai detto tu, $ x^4+o(x^4) $ , mentre il numeratore mi è venuto $ -8/6x^4 + o(x^5) $ , sviluppando prima il logaritmo fino al secondo ordine e poi le due arcotangenti: la prima al secondo ordine e la seconda al primo. L'esponenziale l'ho sviluppata fino al terzo, invece. Mi è venuto $ o(x^5) $ perché nello sviluppo dell'arcotangente, devo aggiungere 1 all'esponente... E' corretto?
Grazie mille, ancora
Ma c'è una regola generale che dice fino a che ordine fermarsi, o è tutto basato sull'intuito? Che relazione c'è tra gli o piccolo al numeratore e al denominatore?
Mi scuso per tutte queste domande
Ho controllato per sicurezza la tabella delle serie di Taylor che ho ed ho notato che è sbagliata la serie $ sqrt(1+x) $ ! Il limite, alla fine, mi venuto. Il denominatore è venuto, come hai detto tu, $ x^4+o(x^4) $ , mentre il numeratore mi è venuto $ -8/6x^4 + o(x^5) $ , sviluppando prima il logaritmo fino al secondo ordine e poi le due arcotangenti: la prima al secondo ordine e la seconda al primo. L'esponenziale l'ho sviluppata fino al terzo, invece. Mi è venuto $ o(x^5) $ perché nello sviluppo dell'arcotangente, devo aggiungere 1 all'esponente... E' corretto?Grazie mille, ancora
Ma c'è una regola generale che dice fino a che ordine fermarsi, o è tutto basato sull'intuito? Che relazione c'è tra gli o piccolo al numeratore e al denominatore?
Mi scuso per tutte queste domande
sì bene, beh non c'è da scusarsi sono le normali domande che uno si fa negli sviluppi di Taylor 
ora... per spiegarti DOVE fermarsi... non è facilissimo, diciamo che una regola intuitiva che uso io è fermarmi appena c'è un termine che non si cancella (esempio al numeratore si annullavano tutti i termini di grado inferiore al 4? è inutile scrivermi pure $x^5$ e oltre... tanto l'infinitesimo sarà di ordine 4)
ora... per spiegarti DOVE fermarsi... non è facilissimo, diciamo che una regola intuitiva che uso io è fermarmi appena c'è un termine che non si cancella (esempio al numeratore si annullavano tutti i termini di grado inferiore al 4? è inutile scrivermi pure $x^5$ e oltre... tanto l'infinitesimo sarà di ordine 4)
Grazie mille Si, anch'io faccio così! Infatti quando ho limiti senza forme in cui bisogna applicare Taylor all'interno e all'esterno ( come $ ln(1+xarctanx) $ ) allora non trovo nessun problema, perché mi fermo solo quando semplifico, e il risultato mi viene sempre. Il problema, invece, sorge quando ci sono queste forme =/ Un altro esempio è questo limite:
$ lim_(x->0) (ln(1+3xsenx) - 3sen(x^2+x^4))/(cosx^4 - 1) $
Il risultato è $ oo $
Visto che il denominatore è semplice, l'ho svolto per primo, e mi è venuto:
$ 1-x^8/2 + o(x^9)-1=-x^8/2 +o(x^9) $
Dopodiché sono passato al numeratore. Ma fino a che ordine svolgo il logaritmo e/o il seno, E chi per prima? E' questo che non riesco a capire! Ci deve essere un qualche tipo di relazione tra l'o-piccolo del numeratore e del numeratore, o sono due cose completamente diverse?
Come svolgo il numeratore? Ho provato a svolgere il seno interno fino all' $ o(x^9) $ e al logaritmo mi sono fermato al primo ordine. L'ultimo seno l'ho svolto fino ad arrivare all'$ o(x^13) $... Se non ho sbagliato i calcoli, facendo così mi troverei con il risultato... Il numeratore, dopo aver svolto tutti i calcoli, mi viene così:
$ 1-7/2x^4 +x^6/40 -x^7/2-x^8/1680-3/2x^9-3/2x^11-x^13/2+o(x^13) $
Non sono per niente sicuro di aver fatto bene xD Da quello che credo di aver capito, un limite del genere si svolge così:
Se non ci sono forme "composte" come quella scritta prima al numeratore/denominatore, ma ce n'è almeno una al denominatore/numeratore, allora svolgo prima il numeratore/denominatore in cui non c'è tale forma. Dopodiché vedo l'o-piccolo che c'è e svolgo il denominatore/numeratore in cui c'è quella forma partendo dall'interno e arrivando all'o-piccolo che sta al numeratore/denominatore, per poi svolgere 1-2 volte la parte esterna, in questo caso il logaritmo, fino ad arrivare ad un o-piccolo uguale o maggiore di quello del denominatore/numeratore... Svolgo poi fino ad un o-piccolo maggiore o uguale a quello del denominatore anche gli altri termini... Sbaglio a far così? xD Forse è meglio svolgere la forma "composta" prima dall'esterno? Ho appena fatto un altro limite e mi sono trovato applicando questo procedimento, però partendo dall'esterno, quindi in questo caso dal logaritmo...
Comunque non credo di aver capito come svolgere questi limiti, quindi, qualsiasi aiuto è ben accetto, visto che domani avrò l'esame e ho paura di non passarlo... Conterrà un Dominio, una funzione, un limite con Taylor come quelli che ho postato, una serie e un integrale... Il Dominio credo di saperlo fare senza problemi, la funzione la so studiare bene e non credo avrò grandi problemi con essa. Taylor è il problema principale, invece... La serie: dipende se riesco a "cavarmela" con le forme indeterminate xD Idem con l'integrale, credo di saper applicare ogni metodo ma non sempre ho l'intuizione e riesco a capire come agire... Tra l'altro la prof mette solo esercizi piuttosto difficili e lunghi, quindi anche se uno sa fare le cose discretamente non è detto che riesca a risolvere l'esercizio del compito...
Posso dire che se riuscissi a capire come applicare Taylor in questi casi, allora avrei almeno la sufficienza assicurata, nel caso non riuscissi a cavarmela la Serie e con l'integrale...
Ti ringrazio ancora per l'aiuto che mi stai dando E ancora scusa per la mia "ignoranza" in questo campo
Si, anch'io faccio così! Infatti quando ho limiti senza forme in cui bisogna applicare Taylor all'interno e all'esterno ( come $ ln(1+xarctanx) $ ) allora non trovo nessun problema, perché mi fermo solo quando semplifico, e il risultato mi viene sempre. Il problema, invece, sorge quando ci sono queste forme =/ Un altro esempio è questo limite:$ lim_(x->0) (ln(1+3xsenx) - 3sen(x^2+x^4))/(cosx^4 - 1) $
Il risultato è $ oo $
Visto che il denominatore è semplice, l'ho svolto per primo, e mi è venuto:
$ 1-x^8/2 + o(x^9)-1=-x^8/2 +o(x^9) $
Dopodiché sono passato al numeratore. Ma fino a che ordine svolgo il logaritmo e/o il seno, E chi per prima? E' questo che non riesco a capire! Ci deve essere un qualche tipo di relazione tra l'o-piccolo del numeratore e del numeratore, o sono due cose completamente diverse?
Come svolgo il numeratore? Ho provato a svolgere il seno interno fino all' $ o(x^9) $ e al logaritmo mi sono fermato al primo ordine. L'ultimo seno l'ho svolto fino ad arrivare all'$ o(x^13) $... Se non ho sbagliato i calcoli, facendo così mi troverei con il risultato... Il numeratore, dopo aver svolto tutti i calcoli, mi viene così:
$ 1-7/2x^4 +x^6/40 -x^7/2-x^8/1680-3/2x^9-3/2x^11-x^13/2+o(x^13) $
Non sono per niente sicuro di aver fatto bene xD Da quello che credo di aver capito, un limite del genere si svolge così:
Se non ci sono forme "composte" come quella scritta prima al numeratore/denominatore, ma ce n'è almeno una al denominatore/numeratore, allora svolgo prima il numeratore/denominatore in cui non c'è tale forma. Dopodiché vedo l'o-piccolo che c'è e svolgo il denominatore/numeratore in cui c'è quella forma partendo dall'interno e arrivando all'o-piccolo che sta al numeratore/denominatore, per poi svolgere 1-2 volte la parte esterna, in questo caso il logaritmo, fino ad arrivare ad un o-piccolo uguale o maggiore di quello del denominatore/numeratore... Svolgo poi fino ad un o-piccolo maggiore o uguale a quello del denominatore anche gli altri termini... Sbaglio a far così? xD Forse è meglio svolgere la forma "composta" prima dall'esterno? Ho appena fatto un altro limite e mi sono trovato applicando questo procedimento, però partendo dall'esterno, quindi in questo caso dal logaritmo...
Comunque non credo di aver capito come svolgere questi limiti, quindi, qualsiasi aiuto è ben accetto, visto che domani avrò l'esame e ho paura di non passarlo... Conterrà un Dominio, una funzione, un limite con Taylor come quelli che ho postato, una serie e un integrale... Il Dominio credo di saperlo fare senza problemi, la funzione la so studiare bene e non credo avrò grandi problemi con essa. Taylor è il problema principale, invece... La serie: dipende se riesco a "cavarmela" con le forme indeterminate xD Idem con l'integrale, credo di saper applicare ogni metodo ma non sempre ho l'intuizione e riesco a capire come agire... Tra l'altro la prof mette solo esercizi piuttosto difficili e lunghi, quindi anche se uno sa fare le cose discretamente non è detto che riesca a risolvere l'esercizio del compito...
Posso dire che se riuscissi a capire come applicare Taylor in questi casi, allora avrei almeno la sufficienza assicurata, nel caso non riuscissi a cavarmela la Serie e con l'integrale...
Ti ringrazio ancora per l'aiuto che mi stai dando
E ancora scusa per la mia "ignoranza" in questo campo
Ho appena risolto altri limiti... Ora sto facendo così: risolvo prima il numeratore/denominatore dove non ci sono forme composte e vedo l'o-piccolo a cui arrivo. Dopodiché svolgo prima la "forma composta" dall'esterno arrivando ad un o piccolo uguale o superiore a quello del denominatore/numeratore, per poi svolgere i calcoli normalmente, fermandomi dove ogni termine si semplifica. Effettivamente in questo modo mi trovo sempre! Sto facendo bene?
io farei così
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