Limiti riconducibili ai notevoli.

steo921
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in alcuni esercizi di analisi matematica che non riesco a risolvere :
in particolare sto parlando di limiti riconducibili ai limiti notevoli, ma che però non riesco in alcun modo a fare..

$ lim (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3)
x-> infinito $


ho pensaot potessi ricondurmi al limite notevole $ (1+x)^a - 1 /x = a $ ma non riesco a mutare l'ordine da infinito a zero o a manipolare in alcun modo la funzione...ho avuto altri problemi del genere con altri esercizi ma per iniziare vorrei vedere questo

Ringraziamenti anticipati :)
stefano.

Risposte
Seneca1
"steo92":
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in alcuni esercizi di analisi matematica che non riesco a risolvere :
in particolare sto parlando di limiti riconducibili ai limiti notevoli, ma che però non riesco in alcun modo a fare..

$ lim (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3)
x-> infinito $


ho pensaot potessi ricondurmi al limite notevole $ (1+x)^a - 1 /x = a $ ma non riesco a mutare l'ordine da infinito a zero o a manipolare in alcun modo la funzione...ho avuto altri problemi del genere con altri esercizi ma per iniziare vorrei vedere questo

Ringraziamenti anticipati :)
stefano.


$ lim_(x -> oo) (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3) = $

$ lim_(x -> oo) x [ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )] = $


$ lim_(x -> oo)[ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )]/(1/x)$

Questa potrebbe essere una strada giusta.

Seneca1
Sì, ho controllato. E' una buona strada.

Sai andare avanti?

ciampax
Non lo è! (o meglio, potrebbe portarti da qualche parte ma la vedo una cosa complicata) :)

Nei casi in cui hai un limite della forma

[tex]$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{f(x)}\pm\sqrt[3]{g(x)}\right)$[/tex]

che risulti una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty-\infty$[/tex], il trucco è quello di usare "l'antirazionalizzazione" seguente

[tex]$\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\pm b}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$[/tex]

(qui ho posto [tex]$a=f(x),\ b=g(x)$[/tex] e da qui procedere con un po' di ragionamenti (tipo quelli di prendere, nelle varie radici che restano, solo i termini principali).

Seneca1
"ciampax":
Non lo è! (o meglio, potrebbe portarti da qualche parte ma la vedo una cosa complicata) :)

Nei casi in cui hai un limite della forma

[tex]$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{f(x)}\pm\sqrt[3]{g(x)}\right)$[/tex]

che risulti una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty-\infty$[/tex], il trucco è quello di usare "l'antirazionalizzazione" seguente

[tex]$\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\pm b}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$[/tex]

(qui ho posto [tex]$a=f(x),\ b=g(x)$[/tex] e da qui procedere con un po' di ragionamenti (tipo quelli di prendere, nelle varie radici che restano, solo i termini principali).


E chiami il mio procedimento "complicato"? :shock:

steo921
stasera proverò con "l'anti-razionalizzazione". (:
La prima soluzione suggerita, quell dia ggiungere e sottrare 1 e dividere per 1/x , quando tende a infinito, a cosa mi può portare? :S cambiamento di variabile..?

Seneca1
"steo92":
stasera proverò con "l'anti-razionalizzazione". (:
La prima soluzione suggerita, quell dia ggiungere e sottrare 1 e dividere per 1/x , quando tende a infinito, a cosa mi può portare? :S cambiamento di variabile..?


Ti porta al limite notevole di cui parlavi tu.
Lo si risolve in altre due righe (oltre quei passaggi che ti ho fatto vedere).

ciampax
Seneca, quella che suggerivi tu può creare seri problemi se non sostituisci gli infinitesimi giusti. Ecco perché suggerivo quest'altra.

Seneca1
In tutta onestà credo che l'anti-razionalizzazione sia molto più macchinosa e meno didattica. Può andar bene se hai un formulario a portata di mano, ma credo sia meglio evitarla (anche perché se la si ricorda a memoria si rischia di fare un pastroccio su cui si ha poco controllo).

E poi ricorda che si parlava di limiti "riconducibili a limiti notevoli". :?

Seneca1
Eravamo rimasti a:

$ lim_(x -> oo)[ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )]/(1/x)$

A chi interessa la soluzione veda qua sotto.


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