Limiti riconducibili ai notevoli.

[steo921]

Salve ragazzi, mi sono imbattuto in alcuni esercizi di analisi matematica che non riesco a risolvere :
in particolare sto parlando di limiti riconducibili ai limiti notevoli, ma che però non riesco in alcun modo a fare..

$ lim (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3)
x-> infinito $


ho pensaot potessi ricondurmi al limite notevole $ (1+x)^a - 1 /x = a $ ma non riesco a mutare l'ordine da infinito a zero o a manipolare in alcun modo la funzione...ho avuto altri problemi del genere con altri esercizi ma per iniziare vorrei vedere questo

Ringraziamenti anticipati
stefano.

[Seneca1]

"steo92":Salve ragazzi, mi sono imbattuto in alcuni esercizi di analisi matematica che non riesco a risolvere :
in particolare sto parlando di limiti riconducibili ai limiti notevoli, ma che però non riesco in alcun modo a fare..

$ lim (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3)
x-> infinito $


ho pensaot potessi ricondurmi al limite notevole $ (1+x)^a - 1 /x = a $ ma non riesco a mutare l'ordine da infinito a zero o a manipolare in alcun modo la funzione...ho avuto altri problemi del genere con altri esercizi ma per iniziare vorrei vedere questo

Ringraziamenti anticipati
stefano.

$ lim_(x -> oo) (2x+x^3)^(1/3) - (x^3+2x^2+1)^(1/3) = $

$ lim_(x -> oo) x [ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )] = $


$ lim_(x -> oo)[ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )]/(1/x)$

Questa potrebbe essere una strada giusta.

[Seneca1]

Sì, ho controllato. E' una buona strada.

Sai andare avanti?

[ciampax]

Non lo è! (o meglio, potrebbe portarti da qualche parte ma la vedo una cosa complicata)

Nei casi in cui hai un limite della forma

[tex]$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{f(x)}\pm\sqrt[3]{g(x)}\right)$[/tex]

che risulti una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty-\infty$[/tex], il trucco è quello di usare "l'antirazionalizzazione" seguente

[tex]$\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\pm b}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$[/tex]

(qui ho posto [tex]$a=f(x),\ b=g(x)$[/tex] e da qui procedere con un po' di ragionamenti (tipo quelli di prendere, nelle varie radici che restano, solo i termini principali).

[Seneca1]

"ciampax":Non lo è! (o meglio, potrebbe portarti da qualche parte ma la vedo una cosa complicata)

Nei casi in cui hai un limite della forma

[tex]$\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{f(x)}\pm\sqrt[3]{g(x)}\right)$[/tex]

che risulti una forma indeterminata del tipo [tex]$\infty-\infty$[/tex], il trucco è quello di usare "l'antirazionalizzazione" seguente

[tex]$\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[3]{a}\pm\sqrt[3]{b}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{a\pm b}{\sqrt[3]{a^2}\mp\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$[/tex]

(qui ho posto [tex]$a=f(x),\ b=g(x)$[/tex] e da qui procedere con un po' di ragionamenti (tipo quelli di prendere, nelle varie radici che restano, solo i termini principali).

E chiami il mio procedimento "complicato"?

[steo921]

stasera proverò con "l'anti-razionalizzazione". (:
La prima soluzione suggerita, quell dia ggiungere e sottrare 1 e dividere per 1/x , quando tende a infinito, a cosa mi può portare? :S cambiamento di variabile..?

[Seneca1]

"steo92":stasera proverò con "l'anti-razionalizzazione". (:
La prima soluzione suggerita, quell dia ggiungere e sottrare 1 e dividere per 1/x , quando tende a infinito, a cosa mi può portare? :S cambiamento di variabile..?

Ti porta al limite notevole di cui parlavi tu.
Lo si risolve in altre due righe (oltre quei passaggi che ti ho fatto vedere).

[ciampax]

Seneca, quella che suggerivi tu può creare seri problemi se non sostituisci gli infinitesimi giusti. Ecco perché suggerivo quest'altra.

[Seneca1]

In tutta onestà credo che l'anti-razionalizzazione sia molto più macchinosa e meno didattica. Può andar bene se hai un formulario a portata di mano, ma credo sia meglio evitarla (anche perché se la si ricorda a memoria si rischia di fare un pastroccio su cui si ha poco controllo).

E poi ricorda che si parlava di limiti "riconducibili a limiti notevoli".

[Seneca1]

Eravamo rimasti a:

$ lim_(x -> oo)[ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 - ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )]/(1/x)$

A chi interessa la soluzione veda qua sotto.

$ lim_(x -> oo)[ (1 + 2/x^2)^(1/3) - 1 ]/(1/x) - lim_(x -> oo) [ ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )]/(1/x)$

Il primo limite vale $0$ perché l'infinitesimo a numeratore è di ordine superiore rispetto a $1/x$. Il secondo limite è quello leggermente più critico:

$ - lim_(x -> oo) ( (1+2/x+1/x^2)^(1/3) - 1 )/(1/x)$

$1/x = t$ e quindi $ - lim_(t -> 0) [ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ]/t$

La cosa migliore (per non parlare di infinitesimi, trascurabilità, ordini) è moltiplicare quel limite lì per $ 1/3 * lim_(t -> 0) (2 t + t^2)/[ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ]$ , di cui è noto il risultato (cioè $1$, quindi non alteri nulla).

$ - 1/3 * lim_(t -> 0) (2 t + t^2)/[ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ] * lim_(t -> 0) [ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ]/t = $

$ - 1/3 * lim_(t -> 0) (2 t + t^2)/[ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ] * [ (1 + ( 2 t + t^2) )^(1/3) - 1 ]/t = $

$ - 1/3 * lim_(t -> 0) (2 t + t^2)/t$

Che è banale.