Limiti notevoli, una domanda.
Salve,
cerco questa mattina, invano, una risposta e così trovo questo forum. Sebbene ci fosse una domanda simile non era quello che cercavo e quindi vorrei personalizzare la richiesta.
La mia domanda è molto semplice, mi chiedevo se un limite notevole come potrebbe essere $lim (x->0) sinx/x$ quando invertito se
1) è possibile usare una equivalenza asintotica del tipo: $lim (x->0) x/sinx~sinx$ al pari di quanto facevo con $lim (x->0) sinx/x~x$? (in questo caso sembra valere, ma vale per tutti i limiti notevoli "portare il denominatore sopra" o funziona solo in questo caso)
2)Essendo: $lim (x->0) x/sinx=lim (x->0) 1/(sinx/x)$ questo dovrebbe condurmi usando l'equivalenza asintotica a $lim (x->0) 1/x$, ma è evidente che qualcosa non funziona.
Vi ringrazio.
cerco questa mattina, invano, una risposta e così trovo questo forum. Sebbene ci fosse una domanda simile non era quello che cercavo e quindi vorrei personalizzare la richiesta.
La mia domanda è molto semplice, mi chiedevo se un limite notevole come potrebbe essere $lim (x->0) sinx/x$ quando invertito se
1) è possibile usare una equivalenza asintotica del tipo: $lim (x->0) x/sinx~sinx$ al pari di quanto facevo con $lim (x->0) sinx/x~x$? (in questo caso sembra valere, ma vale per tutti i limiti notevoli "portare il denominatore sopra" o funziona solo in questo caso)
2)Essendo: $lim (x->0) x/sinx=lim (x->0) 1/(sinx/x)$ questo dovrebbe condurmi usando l'equivalenza asintotica a $lim (x->0) 1/x$, ma è evidente che qualcosa non funziona.
Vi ringrazio.
Risposte
Non so dove tu abbia visto che $lim_(x->0) sinx/x~x$ ma io ricordavo che $lim_(x->0) sinx/x=1$ 
...
...
Piu' che equivalenza e' la continuità della funzione $1/x$: se $lim_{x\to x_0}f(x)=L$ non nullo allora $lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=1/L$.
Ciao, come dicono sopra puoi "spezzare il limite".
Inoltre, a parer mio, puoi vederla anche così (indico con tilde come hai fatto tu l'equivalenza asintotica):
dato che essa gode della proprietà simmetrica, quindi:
ES:$lim_(x->0) 1-cosx~x^2/2$ allora vale per la succitata $lim_(x->0)x^2~(1-cosx)*2$
avendo
$lim_(x->0) x^2/(1-cosx)$
quindi
$lim_(x->0) ((1-cosx)*2)/(1-cosx)=2$
E' molto tortuoso, ma forse era questo che intendevi?
Tranquillo che @luca mi frusterà nel caso abbia detto qualche castroneria
Inoltre, a parer mio, puoi vederla anche così (indico con tilde come hai fatto tu l'equivalenza asintotica):
dato che essa gode della proprietà simmetrica, quindi:
ES:$lim_(x->0) 1-cosx~x^2/2$ allora vale per la succitata $lim_(x->0)x^2~(1-cosx)*2$
avendo
$lim_(x->0) x^2/(1-cosx)$
quindi
$lim_(x->0) ((1-cosx)*2)/(1-cosx)=2$
E' molto tortuoso, ma forse era questo che intendevi?
Tranquillo che @luca mi frusterà nel caso abbia detto qualche castroneria
C'e' infatti un uso un po' confuso delle notazioni, non e' il limite ad essere asintotico a qualcosa bensi' una funzione, e' piu' corretto scrivere $1-\cos x~\frac{x^2}{2}$ per $x\to 0$.
Scusate se pongo anche io una domanda, speo sia utile anche @matellator.
@luca
Ma godendo, l'eq. asintotica, della proprietà di simmetria è comunque corretto scrivere: $x^2~2*(1-cosx)$ per $x\to 0$?
@luca
Ma godendo, l'eq. asintotica, della proprietà di simmetria è comunque corretto scrivere: $x^2~2*(1-cosx)$ per $x\to 0$?
Certo che lo e', il simbolo $f~g$ per $x\to x_0$ vuol solo dire che $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c$ reale non nullo.
Volevo assicurarmi di non aver detto una cavolata all'utente con
Grazie Luca!
"gueridon":
$x^2~2*(1-cosx)$ per $x\to 0$?
Grazie Luca!
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