Limiti notevoli per funzioni complesse?
Salve, vorrei qualche chiarimento sul calcolo dei limiti di una funzione complessa. Se ho una funzione del tipo (sen z ) / z con z numero immaginario, posso calcolarne il limite per z--> 0 come se fosse un limite notevole di numeri reali? E sarebbe possibile poi calcolare tutti i limiti notevoli visti per funzioni reali, anche per funzioni in cui l'incognita è una variabile immaginaria? ... grazie in anticipo
Risposte
Non mi ricordo molto di analisi complessa, ma d'intuizione penso che il modo corretto di procedere, siccome $CC \sim RRxxRR$ è di considerare $z=x+iy$ e procedere con la considerazione della sua norma, ovvero nel tuo esempio:
$lim_(|z| rightarrow 0) (sin(z))/z$
o analogamente per quello che si fa per $RR^2$ considero:
$lim_(x,y rightarrow 0) (sin(x+iy))/(x+iy)$
ma attendiamo qualcuno di più esperto
$lim_(|z| rightarrow 0) (sin(z))/z$
o analogamente per quello che si fa per $RR^2$ considero:
$lim_(x,y rightarrow 0) (sin(x+iy))/(x+iy)$
ma attendiamo qualcuno di più esperto
SE il limite esiste (come nel caso di $(sin(z))/z$) allora è lo stesso che ottieni restringendoti alla retta reale.
Ma a volte il limite non esiste e non si vede calcolandolo solo sui reali.
Ti faccio un esempio semplice:
$lim_(|z| \to 0)(\bar(z))/z$
Se prendo $z = x \in \RR$ allora il limite fa $1$, se prendo $z = i y \in i\RR$ allora il limite fa $-1$, quindi il limite non esiste.
Il calcolo di un limite in $\CC$ è più simile al calcolo di un limite in $\RR^2$ che non in $\RR$ (puoi avere tutte quelle situazioni strane tipo limite che esiste sulle rette ma differisce da quello sulle parabole, ecc. ecc.)
Ma a volte il limite non esiste e non si vede calcolandolo solo sui reali.
Ti faccio un esempio semplice:
$lim_(|z| \to 0)(\bar(z))/z$
Se prendo $z = x \in \RR$ allora il limite fa $1$, se prendo $z = i y \in i\RR$ allora il limite fa $-1$, quindi il limite non esiste.
Il calcolo di un limite in $\CC$ è più simile al calcolo di un limite in $\RR^2$ che non in $\RR$ (puoi avere tutte quelle situazioni strane tipo limite che esiste sulle rette ma differisce da quello sulle parabole, ecc. ecc.)
Ah, non so se ho capito bene quel che chiedi, ma se l'incognita è una variabile immaginaria puoi cercare di RIDURTI al caso reale, cioè isolare la $i$, ma se non ci riesci non puoi trattare il limite come se fosse sui reali.
Per esempio $cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2$ coincide con $cos(x)$ quando $z = x \in \RR$ e con $cosh(y)$ quando $z = y \in \RR$. Se devi calcolare il limite $lim_(y \to 0)(1 - cos^2(iy))/(iy)$, non puoi trattarlo come il limite notevole che conosci! Però puoi calcolarlo come un limite su $\RR$ scrivendo $lim_(y \to 0)(1 - cos^2(iy))/(iy) = -i lim_(y \to 0)(1 - cosh^2(y))/y$...
Per esempio $cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2$ coincide con $cos(x)$ quando $z = x \in \RR$ e con $cosh(y)$ quando $z = y \in \RR$. Se devi calcolare il limite $lim_(y \to 0)(1 - cos^2(iy))/(iy)$, non puoi trattarlo come il limite notevole che conosci! Però puoi calcolarlo come un limite su $\RR$ scrivendo $lim_(y \to 0)(1 - cos^2(iy))/(iy) = -i lim_(y \to 0)(1 - cosh^2(y))/y$...
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