Limiti notevoli incomprensione
Salve ho una domanda da fare sui limiti notevoli. Sono sempre stato sicurissimo del fatto che preso un qualunque limite notevole sostituendo al posto della x una f(x) si otteneva la stessa cosa. Mi spiego meglio:
Preso il limite notevole senx/x=1 (per x ->o) ottengo lo stesso risultato se al posto della x ci metto una f(x) ad esempio:
lim sentgx/tgx =1 (per x->o). Perchè questa cosa non si verifica se uso (ad esempio) il limite notevole logx/x =0 (per x->infinito), sostituendo al posto delle x una banale funzione come sen (1/X)? Infatti facendo il lim di (logsen(1/X))/sen(1/x) = infinito (per x->infinito). Allora la mia domanda è la sostituzione di x con una f(x) si può fare sempre per quanto riguarda i limiti notevoli? Oppure questa cosa si può fare solo per un numero esiguo di limiti notevoli?
Preso il limite notevole senx/x=1 (per x ->o) ottengo lo stesso risultato se al posto della x ci metto una f(x) ad esempio:
lim sentgx/tgx =1 (per x->o). Perchè questa cosa non si verifica se uso (ad esempio) il limite notevole logx/x =0 (per x->infinito), sostituendo al posto delle x una banale funzione come sen (1/X)? Infatti facendo il lim di (logsen(1/X))/sen(1/x) = infinito (per x->infinito). Allora la mia domanda è la sostituzione di x con una f(x) si può fare sempre per quanto riguarda i limiti notevoli? Oppure questa cosa si può fare solo per un numero esiguo di limiti notevoli?
Risposte
hai semplicemente sbagliato il limite notevole del logaritmo. quello corretto è $ log(1+x)/x=1 $ per $x->0$
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} log(x)/x = 0 \) per la gerarchia degli infiniti, ovvero perché \(\displaystyle x^n \) tende ad infinito più velocemente di \(\displaystyle log_a(x) \) \(\displaystyle \forall a > 1, \forall n > 1 \).
Quindi non puoi sostituire con qualsiasi f(x), per maggiori info guarda qui (più che altro la gerarchia degli infiniti): https://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
Quindi non puoi sostituire con qualsiasi f(x), per maggiori info guarda qui (più che altro la gerarchia degli infiniti): https://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica
Giusto, si tratta della gerarchia di un infinito e non di un limite notevole, hai ragione. Quindi per essere sicuro al 100%, per i limiti notevoli posso sempre fare la sostituzione di x con una generica f(x) mentre per la gerarchia degli infiniti (o degli infinitesimi) non posso fare queste sostituzioni (ovviamente perchè cambierebbe l'ordine ecc.). Giusto?
Grazie mille.
Grazie mille.
precisamente 
No, un attimo... Qui stai facendo proprio una sostituzione sbagliata!
La sostituzione nei limiti si basa sul Teorema sul Limite della Funzione Composta, il quale afferma che, sotto opportune ipotesi "tecniche" sugli oggetti in gioco, vale l'implicazione:
\[
\left. \begin{split} \lim_{x\to x_0} f(x) &= y_0 \\ \lim_{y\to y_0} g(y) &= l \end{split}\right\}\quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to x_0} g(f(x)) = l
\]
Nel tuo caso vorresti usare $g(y) := (\log y)/y$ ed $y_0=+\infty$ e però poi prendi una $f(x) := sin (1/x)$ che non tende ad $y_0=+\infty$ per $x\to x_0=+\infty$.
Quindi stai proprio sbagliando ad impostare il calcolo, perché confondi il p.d.a. $x_0$ della variabile "interna" $x$ con il p.d.a. $y_0$ della variabile "esterna" $y$.
La sostituzione nei limiti si basa sul Teorema sul Limite della Funzione Composta, il quale afferma che, sotto opportune ipotesi "tecniche" sugli oggetti in gioco, vale l'implicazione:
\[
\left. \begin{split} \lim_{x\to x_0} f(x) &= y_0 \\ \lim_{y\to y_0} g(y) &= l \end{split}\right\}\quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to x_0} g(f(x)) = l
\]
Nel tuo caso vorresti usare $g(y) := (\log y)/y$ ed $y_0=+\infty$ e però poi prendi una $f(x) := sin (1/x)$ che non tende ad $y_0=+\infty$ per $x\to x_0=+\infty$.
Quindi stai proprio sbagliando ad impostare il calcolo, perché confondi il p.d.a. $x_0$ della variabile "interna" $x$ con il p.d.a. $y_0$ della variabile "esterna" $y$.
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