Limiti notevoli (e^x) e caso particolare
1)$lim_(xto0)(e^x-1)/x=1$
2)$lim_(xto0)(e^(-x)-1)/x=-1$
3)$lim_(xto0)(e^x-1)/x^2=1/2$
4)$lim_(xto0)(e^(-x)-1)/x^2=1/2$
Come si arriva a concludere il punto 3 e 4 senza usare Hopital?
Probabilmente c'è qualcosa di elementare che mi sfugge, ma ho bisogno del vostro aiuto, grazie!
2)$lim_(xto0)(e^(-x)-1)/x=-1$
3)$lim_(xto0)(e^x-1)/x^2=1/2$
4)$lim_(xto0)(e^(-x)-1)/x^2=1/2$
Come si arriva a concludere il punto 3 e 4 senza usare Hopital?
Probabilmente c'è qualcosa di elementare che mi sfugge, ma ho bisogno del vostro aiuto, grazie!
Risposte
Ti sfugge qualcosa per il semplice motivo che 3 e 4 non sono corretti; i limiti al punto 3 e 4 non esistono.
"Luca.Lussardi":
Ti sfugge qualcosa per il semplice motivo che 3 e 4 non sono corretti; i limiti al punto 3 e 4 non esistono.
Eh già, al massimo puoi capire che cosa fa la funzione in un intorno destro o sinistro dello $0$; ma il limite "globale" (se lo chiami così) non esiste (e non è difficile convincersene: se noti le tue funzioni si comportano più o meno come $1/x$).
Detto questo, si possono studiare i limiti destri e sinistri senza usare de l'Hopital (basta ricordare i limiti al punto 1 e 2).
In ogni caso, ti faccio notare che NON puoi applicare de l'Hopital due volte: $lim_(x to 0^+) (e^x-1)/(x^2)=lim_(x to 0^+) (e^x)/(2x)$ e questa NON è più una forma indeterminata, perchè viene una costante positiva (1) fratto qualcosa che tende a zero da destra, e quindi fa più infinito.
Tutto chiaro, adesso
?
Grazie per la correzione, stavo cercando di dimostrare il limite notevole
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2$
Mi potreste indirizzare sulla buona strada o rimandare alla dimostrazione?
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2$
Mi potreste indirizzare sulla buona strada o rimandare alla dimostrazione?
"nitai108":
Grazie per la correzione, stavo cercando di dimostrare il limite notevole
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2$
Mi potreste indirizzare sulla buona strada o rimandare alla dimostrazione?
Due osservazioni:
1. per dimostrare il limite notevole devi scrivere anche quanto viene: ciò che hai scritto è incompleto;
2. il "limite notevole" è sbagliato; lo puoi correggere in due modi: o piazzi $cosx$ al posto del coseno iperbolico oppure cambi il segno a tutto il numeratore tenendo il coseno iperbolico.
In breve, vuoi dimostrare $lim_(xto0)(1-cosx)/x^2=1/2$ oppure $lim_(xto0)(coshx-1)/x^2=1/2$?
"Paolo90":
[quote="nitai108"]Grazie per la correzione, stavo cercando di dimostrare il limite notevole
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2$
Mi potreste indirizzare sulla buona strada o rimandare alla dimostrazione?
Due osservazioni:
1. per dimostrare il limite notevole devi scrivere anche quanto viene: ciò che hai scritto è incompleto;
2. il "limite notevole" è sbagliato; lo puoi correggere in due modi: o piazzi $cosx$ al posto del coseno iperbolico oppure cambi il segno a tutto il numeratore tenendo il coseno iperbolico.
In breve, vuoi dimostrare $lim_(xto0)(1-cosx)/x^2=1/2$ oppure $lim_(xto0)(coshx-1)/x^2=1/2$?[/quote]
Voglio dimostrare che:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=-1/2$ (o l'equivalente $lim_(xto0)(coshx-1)/x^2=1/2$)
Scusa che non l'ho specificato.
"nitai108":
Voglio dimostrare che:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=-1/2$ (o l'equivalente $lim_(xto0)(coshx-1)/x^2=1/2$)
Scusa che non l'ho specificato.
No problem, era solo per capire. Comunque, l'idea è sempre quella di sfruttare il limite notevole $lim_(x to 0) sinhx/x=1$ e la relazione $cosh^2x-sinh^2x=1$.
Prova un po' e poi facci sapere.
Grazie per l'aiuto, la dimostrazione è piuttosto semplice così:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-(sqrt(1+sinh^2x)))/x^2=lim_(xto0)(-(sinh^2x)/x^2)(1/(1+sqrt(1+sinh^2x)))=-1/2$
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-(sqrt(1+sinh^2x)))/x^2=lim_(xto0)(-(sinh^2x)/x^2)(1/(1+sqrt(1+sinh^2x)))=-1/2$
"nitai108":
Grazie per l'aiuto, la dimostrazione è piuttosto semplice così:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-(sqrt(1+sinh^2x)))/x^2=lim_(xto0)(-(sinh^2x)/x^2)(1/(1+sqrt(1+sinh^2x)))=-1/2$
Oppure, metodo forse più bello perchè se non altro ti eviti radici, è moltiplicare il numeratore e denominatore per $coshx-1$ e ricordare un prodotto notevole...
Hai ragione:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-cosh^2x)/((x^2)(1+coshx))=lim_(xto0)((1-1-sinh^2x)/x^2)(1/(1+coshx))=-1/2$
Grazie molte per l'aiuto.
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-cosh^2x)/((x^2)(1+coshx))=lim_(xto0)((1-1-sinh^2x)/x^2)(1/(1+coshx))=-1/2$
Grazie molte per l'aiuto.
Figurati.
Buongiorno a tutti, mi sono appena iscritto a questo forum e vorrei chiedervi perchè è così scontato che
$(1/(1+coshx))=-1/2$
Grazie
$(1/(1+coshx))=-1/2$
Grazie
"nitai108":
Hai ragione:
$lim_(xto0)(1-coshx)/x^2=lim_(xto0)(1-cosh^2x)/((x^2)(1+coshx))=lim_(xto0)((1-1-sinh^2x)/x^2)(1/(1+coshx))=-1/2$
Grazie molte per l'aiuto.
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