Limiti notevoli e Hopital

[Aliseo1]

Ciao ragazzi, ho questo limite

$ lim_{x \to 0}(xcos(x)-x)/(e^(x)-1-sin(x)-x/2) $

Ora, se applico direttamente i limiti notevoli, il risultato del limite è $0$, ma se applico Hopital, viene $ -3/2 $ (che poi è il risultato giusto). Come mai questa divergenza? é una questione di infinitesimi o cos'altro?

[orazioster]

$d/(dx)(xcosx -x) = cosx -xsinx -1$ e tende a zero.
$d/(dx)(e^x - 1 -sinx - x/2) = e^x -cosx -1/2$ e tende a -(1/2).
Il limte è zero, no?

[Aliseo1]

Scusate, ho dimenticato di inserire il quadrato al denominatore, il limite giusto è

$ lim_{x \to 0}(xcos(x)-x)/(e^x-1-sin(x)-x^2/2) $

Ora, se applico al denominatore i limiti notevoli e al numeratore metto in evidenza la $x$ e vi utilizzo il limite notevole diventa

$ lim_{x \to 0}(x(cosx-1))/(x-x-x^2/2)=lim_{x \to 0}(-x^3/2)/(-x^2/2)=lim_{x \to 0}x=0 $

Invece, se applico tre volte l'Hopital, il limite esce $ -3/2 $, che poi è proprio il risultato giusto. Allora io mi chiedo: cm mai questi due risultati diversi? Il risultato non dovrebbe essere uguale qualora adoperassi sia i limiti notevoli, sia l'Hopital? Dv sta il problema? è una questione di infinitesimi?

Aspetto vostre news

[Lorenzo Pantieri]

"Aliseo":è una questione di infinitesimi?

Sì, ovviamente. Non puoi scrivere $e^x-1=x$ (con $x\to 0$), il modo corretto è $e^x-1=x+o(x)$. Dimeticare l'o piccolo non è lecito.

Ciao,
L.

[Aliseo1]

Ma scusate per $ x \to 0 $ $ e^x-1$ e $ sin(x) $ non sono infinitesimi dello stesso ordine? Quindi a che pro considerare l'$o(x)$?

[gugo82]

Occhio che $e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+"o"(x^3)$ e $sinx=x-x^3/6+"o"(x^3)$...

[Aliseo1]

Quindi, $ e^x-1 $ tende + velocemente allo zero rispetto a $sin(x)$?

[gugo82]

Quindi $e^x-1-sin x-x^2/2=x^3/3+"o"(x^3)$...

Insomma, il denominatore è un infinitesimo d'ordine $3$, così come il numeratore.
Proprio imboccato col cucchiaino.