[Limiti notevoli] Dov'è l'errore?

[Kemix1]

Ciao ragazzi, sto svolgendo qualche limite notevole e in particolare sono imbattuto in questo. Dopo averlo svolto nella maniera che presenterò tra poco, non mi sono trovato con il risultato. Pertanto, ho cambiato strada trovando quella corretta. Nonostante ciò, non ho ancora capito cosa ci fosse di sbagliato nella prima strada da me seguita e, un po' per orgoglio e un po' con lo scopo di non commettere più lo stesso errore, vorrei capire appunto quale passaggio fosse scorretto.
Il limite è:
$ lim _(x->1)(sqrt(x+3)-2)/(sqrt(2x^2+x+1)-2 $

Sostituisco x con x+1 per far tendere x a 0:

$ lim _(x->0)(sqrt(x+4)-2)/(sqrt(2(x+1)^2+x+2)-2 $

Sia al numeratore che al denominatore mi riporto al seguente limite notevole:

$ lim_(x->0)((1+f(x))^a-1)/f(x)=a $

e quindi, con qualche artificio:

$ lim _(x->0)([(sqrt(1+(x+3))-2)/(x+3)]*(x+3))/([(sqrt(1+(2x^2+5x+3))-2)/(2x^2+5x+3)]*(2x^2+5x+3)) $

e mi "libero" dello scomodo -2

$ lim _(x->0)[[(sqrt(1+(x+3))-1)/(x+3)-1/(x+3)]*(x+3)]/([(sqrt(1+(2x^2+5x+3))-1)/(2x^2+5x+3)-1/(2x^2+5x+3)]*(2x^2+5x+3) $

Facendo tendere la x a 0 abbiamo:

$ ([1/2 - 1/3]*3)/([1/2-1/3]*3) = 1$

Il risultato dovrebbe essere $1/5 $
Grazie in anticipo.

[Ziben]

Ciao,
a parte altre varie considerazioni più profonde sull'uso dei limiti notevoli, mi pare che

$ lim_(x->0)((1+f(x))^a-1)/f(x)=a $

sia utilizzabile quando $f(x)->0$
cosa che le funzioni $(x+3)$ e $2x^2+5x+3$ non fanno

Del resto prendiamo per esempio $(sqrt(1+(x+3))-1)/(x+3)$ essa per $x->0$, essendo una funzione continua, tende a $(sqrt(1+(0+3))-1)/(0+3) = 1/3$