Limiti notevoli
Salve a tutti e buone feste fatte...
Mi trovo di fronte ad un limite notevole e volevo un chiarimento sul risultato...
l'esercizio è il seguente:
$lim_(x->0)(1-cossqrt(x))/x$ il risultato del seguente limite è $1/2$;
ora per definizione so che il $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]=1/2$;
ma non riesco a capire come si fa...
Qualcuno può darmi una mano a capire come procedere?
Mi trovo di fronte ad un limite notevole e volevo un chiarimento sul risultato...
l'esercizio è il seguente:
$lim_(x->0)(1-cossqrt(x))/x$ il risultato del seguente limite è $1/2$;
ora per definizione so che il $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]=1/2$;
ma non riesco a capire come si fa...
Qualcuno può darmi una mano a capire come procedere?
Risposte
Ciao.
Per definizione? Intanto come hai scritto tu non va bene, la forma è
$lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)^2]=1/2$ (fatte le dovute supposozioni su questa $f(x)$, ad esempio che non si annulli in un intorno di $0$ (escludo lo $0$ appunto)
Nel nostro caso, $f(x)=sqrt(x)$ e quindi il quadrato è $x$, e abbiamo $1/2$, come dà la soluzione.
Poi questo risultato si ricava, di dimostra, non è affatto una definizione.
Infine, il limite si calcola con $x\to0^+$, perché a sinistra dello zero abbiamo valori di $x$ negativi, cioè $sqrt(x)$ non è definita.
Ti torna tutto?
Ciao.
"domy90":
ora per definizione so che il $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]=1/2$;
Per definizione? Intanto come hai scritto tu non va bene, la forma è
$lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)^2]=1/2$ (fatte le dovute supposozioni su questa $f(x)$, ad esempio che non si annulli in un intorno di $0$ (escludo lo $0$ appunto)
Nel nostro caso, $f(x)=sqrt(x)$ e quindi il quadrato è $x$, e abbiamo $1/2$, come dà la soluzione.
Poi questo risultato si ricava, di dimostra, non è affatto una definizione.
Infine, il limite si calcola con $x\to0^+$, perché a sinistra dello zero abbiamo valori di $x$ negativi, cioè $sqrt(x)$ non è definita.
Ti torna tutto?
Ciao.
Ma il ilmite si deve annullare per forza in un'intorno di zero, cioè può essere anche un'altro "numero"? Cioè si può annullare in un intorno qualsiasi ad esempio 2?
In questo caso si annulla in zero oltre al fatto che è una fratta ma anche perchè la radice non è definita in $0^-$ e quindi devo escludere lo $0$?
In questo caso si annulla in zero oltre al fatto che è una fratta ma anche perchè la radice non è definita in $0^-$ e quindi devo escludere lo $0$?
Se ho capito bene, il limite notevole vale se $f(x)$ tende a zero, e basta.
Di solito il limite viene presentato come
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{1-\cos{y}}{y^2}=1/2$[/tex]
Poi al posto di $y$ appunto va bene una quantità che va a zero, come una generica $f(x)$
Ad esempio
[tex]$\lim_{x\to3} \frac{1-\cos{(x-3)}}{(x-3)^2}=\frac{1}{2}$[/tex]
In questo caso, abbiamo che la nostra $f(x)$ è $x-3$, e che appunto tende a zero se $x$ tende a $3$.
Dire $f(x)\to0$ oppure $x\to3$ è lo stesso.
Guarda, francamente non riesco a capire quello che vuoi dire. A livello linguistico dico.
Di solito il limite viene presentato come
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{1-\cos{y}}{y^2}=1/2$[/tex]
Poi al posto di $y$ appunto va bene una quantità che va a zero, come una generica $f(x)$
Ad esempio
[tex]$\lim_{x\to3} \frac{1-\cos{(x-3)}}{(x-3)^2}=\frac{1}{2}$[/tex]
In questo caso, abbiamo che la nostra $f(x)$ è $x-3$, e che appunto tende a zero se $x$ tende a $3$.
Dire $f(x)\to0$ oppure $x\to3$ è lo stesso.
"domy90":
In questo caso si annulla in zero oltre al fatto che è una fratta ma anche perchè la radice non è definita in $0^-$ e quindi devo escludere lo $0$?
Guarda, francamente non riesco a capire quello che vuoi dire. A livello linguistico dico.
Scusa hai ragione non si capiscer un granchè comunque intendevo dire che nell'esercizio dovevo escludere lo zero sia per il fatto che la radice quadrata non è definita a $0^-$ sia perchè il denominatore di quell'eq. deve essere $!=0$.
Qualcuno sa la dimostrazione del perchè il $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2=1/2$:?
Magari usando un esempio...
grazie
Domenico
Qualcuno sa la dimostrazione del perchè il $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2=1/2$:?
Magari usando un esempio...
grazie
Domenico
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