Limiti notevoli

[nessi1]

Buongiorno ragazzi, non capisco dove sto sbagliando visto che il risultato dovrebbe essere e^(1/3)

Nell'allegato trovate tutto.
Spero mi possiate aiutare a capire perchè sto perdendo un sacco di tempo a capire e forse anche inutilmente.
Grazie a chi lo farà.

[nessi1]

Qualcuno può rispondere? Secondo me è una cosa abbastanza banale.

[gugo82]

L'approssimazione è fatta male.

Intorno a \(y=0\) hai:
\[
\begin{split}
\frac{1}{\sin^2 y} &= \frac{1}{(y-\frac{1}{6}y^3 + \text{o} (y^3))^2}\\
&= \frac{1}{y^2}\cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{6} y^2+ \text{o}(y^2))^2}\\
&= \frac{1}{y^2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3} y^2 +\text{o}(y^2)}\\
&= \frac{1}{y^2}\cdot \left( 1 +\frac{1}{3} y^2 + \text{o} (y^2)\right)\\
&= \frac{1}{y^2} +\frac{1}{3} + \text{o}(1)
\end{split}
\]
per approssimazione del seno e per serie geometrica; dunque per \(y=1/x\) trovi:
\[
e^{\frac{1}{\sin^2 (1/x)}} = e^{x^2 + \frac{1}{3} +\text{o}(1)} \approx \sqrt[3]{e}\cdot e^{x^2}\; .
\]