Limiti logaritmo e trigonometrico

[pasplu]

Potete aiutarmi a risolvere i due limiti sotto:

$\lim_{x \to\0_+}x*log1/x

$\lim_{x \to\0_+}(sin(x))^x

grazie per l'aiuto

[@melia]

"pasplu":Potete aiutarmi a risolvere i due limiti sotto:
$\lim_{x \to\0_+}x*log1/x
$\lim_{x \to\0_+}(sin(x))^x
grazie per l'aiuto

Suppongo che il primo limite sia $\lim_{x \to\0_+}x*log(1/x)$, si risolve abbastanza rapidamente con l'Hopital partendo dalla forma $\lim_{x \to\0_+}log(1/x)/(1/x)$, risulta $0$

Anche il secondo si risolve velocemnte scrivendolo $\lim_{x \to\0_+}(sin(x))^x=\lim_{x \to\0_+}e^(ln(sin(x))^x)=\lim_{x \to\0_+}e^(x*ln(sin x))$ e lavorando con l'Hopital sull'esponente, risulta$1$

[Knuckles1]

Il primo volendo penso si possa risolvere anche con gli ordini vedendo che x tende a zero più velocemente di quanto non faccia logx tendente a più infinito.... non so se mi sono spiegato... in pratica mentre il log va a $+oo$ lentamente la x va a zero molto rapidamente trovando così 0 moltiplicato per un numero cioè zero...

mi chiedo se il secondo limite possa essere risolto dicendo che siccome x tende a zero abbiamo un numero elevato a zero cioè 1...

[Cantaro86]

no perchè è una forma indeterminata, però puoi approssimare $sinx\approxx$ che ti rende i conti più facili

[pasplu]

Grazie per gli aiuti, ma applicando l'Hopital a

$\lim_{x \to\0_+}x*log(1/x)$ ottengo, derivando il numeratore e denominatore:

$\lim_{x \to\0_+}((1/x)*(-1/x^2))/(-1/x^2)$, semplificando le frazioni comuni al numeratore ed al denominatore ottengo:

$\lim_{x \to\0_+}(1/x)$ con limite pari a $\+infty$. Forse sto sbagliando?

Per il secondo limite, credo che reiterando l'Hopital ottengo sempre il rapporto tra due infiniti e quindi non so come continuare!!!! O meglio se sviluppo in serie di Taylor $\log(sin(x))$ ho il risultato di uno come limite.

Grazie, ancora a tutti

[Steven11]

"pasplu":
$\lim_{x \to\0_+}x*log(1/x)$ ottengo, derivando il numeratore e denominatore:

$\lim_{x \to\0_+}((1/x)*(-1/x^2))/(-1/x^2)$

Sbagli la derivata al numeratore.
Va bene il fattore $-1/x^2$, ma in realtà al posto di $1/x$ dovrebbe esserci $x$.
Questo perché, dopo la derivata dell'argomento del logaritmo, devi moltiplicare per il reciproco dello stesso, la classica formula
$logf(x)=(f'(x))*1/(f(x))$
L'inverso di $1/x$ è ovviamente $x$.

Per il secondo, procederei così.
Sfruttando il fatto che
$lim_(xto0)x^x=1$, proviamo a moltiplicare numeratore è denominatore per $x^x$
Allora $(sinx)^x$ diviene $(sinx)^x*(x^x)/(x^x)$ ma possiamo anche scriverlo
$(sinx/x)^x*x^x$
Ora, se $xto0^+$, è palese che il primo fattore va a $1$, visto che la base va ad $1$ per il limite notevole e l'esponente a $0$.
D'altra parte, abbiamo detto che $x^x=>1$ se $xto0$, quindi in definitiva
$lim_(xto0)(sinx)^x=1=lim_(xto0)(sinx/x)^x*x^x=1*1=1$

Se hai dubbi chiedi pure.

Ciao