Limiti indeterminati
ciao a tutti...avrei bisogno di un aiutino per quanto riguarda questi due limiti abbastanza simili
$ lim_(x -> oo ) root(3)(((x^5)/((x-1)^(2)) )) - x $
$ lim_(x -> oo ) x**sqrt(((x-1)/ (x+1))) - x $
Ho provato con la razionalizzazione ma non mi ha portato a niente...idem raccogliendo la x (prima sotto radice) e poi come variabile globale ma non mi porta alla soluzione >.<
vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
$ lim_(x -> oo ) root(3)(((x^5)/((x-1)^(2)) )) - x $
$ lim_(x -> oo ) x**sqrt(((x-1)/ (x+1))) - x $
Ho provato con la razionalizzazione ma non mi ha portato a niente...idem raccogliendo la x (prima sotto radice) e poi come variabile globale ma non mi porta alla soluzione >.<
vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
Risposte
Cerchi di generare una differenza di cubi nel primo, il secondo non l'ho fatto... comunque è una robaccia:
(per brevità faccio i passaggi algebrici senza segno di lim)
$root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x=([root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]*[root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x])/(root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x)=((x^5-x^5-x^3+2x^4)/(x^2-2x+1))/(x^2*root(3)((x^4)/(x-1)^4)+x^2+x^2*root(3)((x^2)/(x-1)^2))
Le robe sotto i segni di radice tendono a $1$ pertanto a denominatore sommiamo gli $x^2$, si ha:
$(2x^4-x^3)/(3x^4-6x^3+3x^2)
da cui
$lim_(x->+oo)(root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x)=2/3
(per brevità faccio i passaggi algebrici senza segno di lim)
$root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x=([root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]*[root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x])/(root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x)=((x^5-x^5-x^3+2x^4)/(x^2-2x+1))/(x^2*root(3)((x^4)/(x-1)^4)+x^2+x^2*root(3)((x^2)/(x-1)^2))
Le robe sotto i segni di radice tendono a $1$ pertanto a denominatore sommiamo gli $x^2$, si ha:
$(2x^4-x^3)/(3x^4-6x^3+3x^2)
da cui
$lim_(x->+oo)(root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x)=2/3
prova a raccogliere una $x$
"nato_pigro":
prova a raccogliere una $x$
Nel primo in questo modo mi veniva:
$lim_(x->oo)(root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x)=lim_(x->oo)[x*root(3)((x^2)/(x-1)^2)-x]=lim_(x->oo)[x(root(3)((x^2)/(x-1)^2)-1)]=(oo*0)
@ friction...è corretto...poi me lo guardo per bene per capire il passaggio della differenza di cubi...mi devo controllare il fattore moltiplicativo.
grazie
@ nato_pigro di quale limite parli dei due? in ogni caso col raccoglimento ho già provato per entrambi e mi impianto
(non credo sia la strada giusta)
grazie

@ nato_pigro di quale limite parli dei due? in ogni caso col raccoglimento ho già provato per entrambi e mi impianto

Il secondo si fa generando una differenza di quadrati: $alpha^2-beta^2=(alpha-beta)(alpha+beta)$; dato che c'è $oo$ senza segno si dovrebbe intendere $pm oo$ (giusto?): pertanto sarebbe bello far vedere che la radice quadrata elevata al quadrato diventa modulo del radicando, poi studiando la positività di quest'ultimo ($x<-1 vv x>1$) si mostra che sia per $+oo$ sia per $-oo$ viene come limite $-1$ (credo...).
Azz sei un mostro e sei esaustivo 
giusto pure questo
grazie mille
ps
ma nel secondo c'è un x che moltiplica tutto...la tengo fuori dal calcolo?

giusto pure questo
grazie mille
ps
ma nel secondo c'è un x che moltiplica tutto...la tengo fuori dal calcolo?
Così mi fai arrossire... 
Comunque prendi ciò che ti dico con un certo scetticismo, io faccio solo la quarta (futura quinta) scientifico, quindi posso benissimo sbagliare... ma visto che nessuno è intervenuto a correggermi immagino di non aver fatto errori macroscopici... per ora.
$lim_(x->oo)[x*sqrt((x-1)/(x+1))-x]=lim_(x->oo)((x*sqrt((x-1)/(x+1))-x)*(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)=lim_(x->oo)(x^2|(x-1)/(x+1)|-x^2)/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)
qui come dicevo analizzando la positività dell'argomento del valore assoluto, abbiamo che è positivo per $x in (-oo;-1)vv(1;+oo)$, e noi stiamo proprio guardando il comportamente della funzione negli intorni (si può dire?) di $+oo$ e di $-oo$. Allora nelle vicinanze di quei due punti l'argomento del modulo è positivo, quindi a che serve lasciarlo (il modulo)?
$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)
adesso osserviamo anche che a denominatore "radice di..." tende a 1, quindi è come se ci fosse $2x$:
$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(2x)=lim_(x->oo)(-2x^2)/(2x^2+2x)=-1

Comunque prendi ciò che ti dico con un certo scetticismo, io faccio solo la quarta (futura quinta) scientifico, quindi posso benissimo sbagliare... ma visto che nessuno è intervenuto a correggermi immagino di non aver fatto errori macroscopici... per ora.
$lim_(x->oo)[x*sqrt((x-1)/(x+1))-x]=lim_(x->oo)((x*sqrt((x-1)/(x+1))-x)*(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)=lim_(x->oo)(x^2|(x-1)/(x+1)|-x^2)/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)
qui come dicevo analizzando la positività dell'argomento del valore assoluto, abbiamo che è positivo per $x in (-oo;-1)vv(1;+oo)$, e noi stiamo proprio guardando il comportamente della funzione negli intorni (si può dire?) di $+oo$ e di $-oo$. Allora nelle vicinanze di quei due punti l'argomento del modulo è positivo, quindi a che serve lasciarlo (il modulo)?
$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)
adesso osserviamo anche che a denominatore "radice di..." tende a 1, quindi è come se ci fosse $2x$:
$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(2x)=lim_(x->oo)(-2x^2)/(2x^2+2x)=-1
o_O
ti spiegano bene, allora...
sono al terzo anno di ingegneria e ancora analisi non l'ho accantonata
grazie ancora...molto gentile
e ti confermo ancora i risultati
ti spiegano bene, allora...
sono al terzo anno di ingegneria e ancora analisi non l'ho accantonata

grazie ancora...molto gentile
e ti confermo ancora i risultati
@ContadinO: Altro modo per procedere è ricordare i limiti fondamentali. Invero, visto che per [tex]$y\to 0$[/tex] si ha [tex]$\sqrt[n]{1+y} -1\approx \tfrac{1}{n}\ y$[/tex], per [tex]$x\to \pm \infty$[/tex] risulta:
[tex]$\sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =x\left( \sqrt[3]{1+(\tfrac{x^2}{(x-1)^2}-1)} -1\right) \approx x\ \frac{1}{3}\left( \frac{x^2}{(x-1)^2} -1\right) = x\ \frac{1}{3} \frac{2x-1}{(x-1)^2} =\frac{2x^2-x}{3(x-1)^2}$[/tex]
per cui si ha:
[tex]$\lim_{x\to \pm \infty} \sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =\lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2-x}{3(x-1)^2} =\frac{2}{3}$[/tex].
Lo stessissimo trucco si può usare anche con l'altro limite.
[tex]$\sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =x\left( \sqrt[3]{1+(\tfrac{x^2}{(x-1)^2}-1)} -1\right) \approx x\ \frac{1}{3}\left( \frac{x^2}{(x-1)^2} -1\right) = x\ \frac{1}{3} \frac{2x-1}{(x-1)^2} =\frac{2x^2-x}{3(x-1)^2}$[/tex]
per cui si ha:
[tex]$\lim_{x\to \pm \infty} \sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =\lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2-x}{3(x-1)^2} =\frac{2}{3}$[/tex].
Lo stessissimo trucco si può usare anche con l'altro limite.

Il limite che citi tu non lo trovo
(mi piacerebbe vedere una dimostrazione, per curiosità) però ho trovato quest'altro che è molto simile, ed in ogni caso credo sia applicabile al nostro caso (metto $t$ per non entrare in conflitto con $x$)
$lim_(t->0)((1+t)^alpha-1)/t=alpha, \quad alpha in RR
$lim_(x->oo)[root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]=lim_(x->oo)x(root(3)((x^2)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)/((2x-1)/(x-1)^2)*(2x-1)/(x-1)^2
si pone $(2x-1)/(x-1)^2=t,\quad x->oo implies t->0
$lim_(t->0)((1+t)^(1/3)-1)/t=1/3 => lim_(x->oo)1/3x*(2x-1)/(x-1)^2=lim_(x->oo)1/3*(2x^2-x)/(x-1)^2=2/3
Ovviamente il tuo modo è più meglio

$lim_(t->0)((1+t)^alpha-1)/t=alpha, \quad alpha in RR
$lim_(x->oo)[root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]=lim_(x->oo)x(root(3)((x^2)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)/((2x-1)/(x-1)^2)*(2x-1)/(x-1)^2
si pone $(2x-1)/(x-1)^2=t,\quad x->oo implies t->0
$lim_(t->0)((1+t)^(1/3)-1)/t=1/3 => lim_(x->oo)1/3x*(2x-1)/(x-1)^2=lim_(x->oo)1/3*(2x^2-x)/(x-1)^2=2/3
Ovviamente il tuo modo è più meglio

Il limite era proprio quello che hai citato tu, ossia [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^\alpha -1}{y} =\alpha$[/tex] con [tex]$\alpha =\tfrac{1}{n}$[/tex] (in particolare, con [tex]$n=3$[/tex]).
Che vergogna...
avevo notato una certa somiglianza. In realtà è la $y$ portata dall'altra parte che mi ha tratto in inganno... pazienza.

@gugo82
Non capisco il primo passaggio
$ root(3)((x^5)/(x-1)^2) - x = root(3)((x^3)*(x^2)/((x-1)^2)) -x = x (root(3)((x^2)/((x-1)^2)) -1) $
dove sbaglio??
il fatto è che quando ho provato a risolverlo ho subito pensato ai limiti notevoli e avevo pensato subito a quella formula, però come puoi notare, pecco nel raccogliere e non mi portava da nessuna parte.
quel 1+(---)-1 sotto radice non mi tornano
Non capisco il primo passaggio
$ root(3)((x^5)/(x-1)^2) - x = root(3)((x^3)*(x^2)/((x-1)^2)) -x = x (root(3)((x^2)/((x-1)^2)) -1) $
dove sbaglio??
il fatto è che quando ho provato a risolverlo ho subito pensato ai limiti notevoli e avevo pensato subito a quella formula, però come puoi notare, pecco nel raccogliere e non mi portava da nessuna parte.
quel 1+(---)-1 sotto radice non mi tornano

Io ho semplicemente fatto la divisione tra polinomi, per il teorema della divisione sai che $P(x)=Q(x)*D(x)+R(x) implies (P(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$. Il $-1$ sta fuori dalla radice.
Lui ha fatto la stessa cosa ma con un trucchetto: quando il grado massimo di $P(x)$ e $D(x)$ è lo stesso ed i coefficienti delle incognite di grado massimo sono uguali, sai già che la divisione darà quoziente $1$ con resto qualcosa. Allora lui sa che verrà $1+...$, prende $(P(x))/(D(x))$ aggiunge e toglie $1$.
Lui ha fatto la stessa cosa ma con un trucchetto: quando il grado massimo di $P(x)$ e $D(x)$ è lo stesso ed i coefficienti delle incognite di grado massimo sono uguali, sai già che la divisione darà quoziente $1$ con resto qualcosa. Allora lui sa che verrà $1+...$, prende $(P(x))/(D(x))$ aggiunge e toglie $1$.
ah ok come pensavo... aggiungendo e togliendo la stessa quantità sotto radice posso ricondurmi al caso tipo inglobando il -1 nella "variabile".