Limiti indeterminati

[ContadinO1]

ciao a tutti...avrei bisogno di un aiutino per quanto riguarda questi due limiti abbastanza simili

$ lim_(x -> oo ) root(3)(((x^5)/((x-1)^(2)) )) - x $


$ lim_(x -> oo ) x**sqrt(((x-1)/ (x+1))) - x $

Ho provato con la razionalizzazione ma non mi ha portato a niente...idem raccogliendo la x (prima sotto radice) e poi come variabile globale ma non mi porta alla soluzione >.<

vi ringrazio in anticipo per la disponibilità

[redlex91-votailprof]

Cerchi di generare una differenza di cubi nel primo, il secondo non l'ho fatto... comunque è una robaccia:

(per brevità faccio i passaggi algebrici senza segno di lim)

$root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x=([root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]*[root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x])/(root(3)((x^10)/(x-1)^4)+x^2+root(3)((x^5)/(x-1)^2)*x)=((x^5-x^5-x^3+2x^4)/(x^2-2x+1))/(x^2*root(3)((x^4)/(x-1)^4)+x^2+x^2*root(3)((x^2)/(x-1)^2))
Le robe sotto i segni di radice tendono a $1$ pertanto a denominatore sommiamo gli $x^2$, si ha:
$(2x^4-x^3)/(3x^4-6x^3+3x^2)
da cui
$lim_(x->+oo)(root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x)=2/3

[nato_pigro1]

prova a raccogliere una $x$

[redlex91-votailprof]

"nato_pigro":prova a raccogliere una $x$

Nel primo in questo modo mi veniva:

$lim_(x->oo)(root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x)=lim_(x->oo)[x*root(3)((x^2)/(x-1)^2)-x]=lim_(x->oo)[x(root(3)((x^2)/(x-1)^2)-1)]=(oo*0)

[ContadinO1]

@ friction...è corretto...poi me lo guardo per bene per capire il passaggio della differenza di cubi...mi devo controllare il fattore moltiplicativo.
grazie

@ nato_pigro di quale limite parli dei due? in ogni caso col raccoglimento ho già provato per entrambi e mi impianto (non credo sia la strada giusta)

[redlex91-votailprof]

Il secondo si fa generando una differenza di quadrati: $alpha^2-beta^2=(alpha-beta)(alpha+beta)$; dato che c'è $oo$ senza segno si dovrebbe intendere $pm oo$ (giusto?): pertanto sarebbe bello far vedere che la radice quadrata elevata al quadrato diventa modulo del radicando, poi studiando la positività di quest'ultimo ($x<-1 vv x>1$) si mostra che sia per $+oo$ sia per $-oo$ viene come limite $-1$ (credo...).

[ContadinO1]

Azz sei un mostro e sei esaustivo

giusto pure questo

grazie mille

ps
ma nel secondo c'è un x che moltiplica tutto...la tengo fuori dal calcolo?

[redlex91-votailprof]

Così mi fai arrossire...
Comunque prendi ciò che ti dico con un certo scetticismo, io faccio solo la quarta (futura quinta) scientifico, quindi posso benissimo sbagliare... ma visto che nessuno è intervenuto a correggermi immagino di non aver fatto errori macroscopici... per ora.

$lim_(x->oo)[x*sqrt((x-1)/(x+1))-x]=lim_(x->oo)((x*sqrt((x-1)/(x+1))-x)*(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)=lim_(x->oo)(x^2|(x-1)/(x+1)|-x^2)/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)

qui come dicevo analizzando la positività dell'argomento del valore assoluto, abbiamo che è positivo per $x in (-oo;-1)vv(1;+oo)$, e noi stiamo proprio guardando il comportamente della funzione negli intorni (si può dire?) di $+oo$ e di $-oo$. Allora nelle vicinanze di quei due punti l'argomento del modulo è positivo, quindi a che serve lasciarlo (il modulo)?

$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(x*sqrt((x-1)/(x+1))+x)

adesso osserviamo anche che a denominatore "radice di..." tende a 1, quindi è come se ci fosse $2x$:

$lim_(x->oo)((x^3-x^2-x^3-x^2)/(x+1))/(2x)=lim_(x->oo)(-2x^2)/(2x^2+2x)=-1

[ContadinO1]

o_O

ti spiegano bene, allora...
sono al terzo anno di ingegneria e ancora analisi non l'ho accantonata

grazie ancora...molto gentile

e ti confermo ancora i risultati

[gugo82]

@ContadinO: Altro modo per procedere è ricordare i limiti fondamentali. Invero, visto che per [tex]$y\to 0$[/tex] si ha [tex]$\sqrt[n]{1+y} -1\approx \tfrac{1}{n}\ y$[/tex], per [tex]$x\to \pm \infty$[/tex] risulta:

[tex]$\sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =x\left( \sqrt[3]{1+(\tfrac{x^2}{(x-1)^2}-1)} -1\right) \approx x\ \frac{1}{3}\left( \frac{x^2}{(x-1)^2} -1\right) = x\ \frac{1}{3} \frac{2x-1}{(x-1)^2} =\frac{2x^2-x}{3(x-1)^2}$[/tex]

per cui si ha:

[tex]$\lim_{x\to \pm \infty} \sqrt[3]{\frac{x^5}{(x-1)^2}} -x =\lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x^2-x}{3(x-1)^2} =\frac{2}{3}$[/tex].

Lo stessissimo trucco si può usare anche con l'altro limite.

[redlex91-votailprof]

Il limite che citi tu non lo trovo (mi piacerebbe vedere una dimostrazione, per curiosità) però ho trovato quest'altro che è molto simile, ed in ogni caso credo sia applicabile al nostro caso (metto $t$ per non entrare in conflitto con $x$)

$lim_(t->0)((1+t)^alpha-1)/t=alpha, \quad alpha in RR

$lim_(x->oo)[root(3)((x^5)/(x-1)^2)-x]=lim_(x->oo)x(root(3)((x^2)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)=lim_(x->oo)x(root(3)(1+(2x-1)/(x-1)^2)-1)/((2x-1)/(x-1)^2)*(2x-1)/(x-1)^2

si pone $(2x-1)/(x-1)^2=t,\quad x->oo implies t->0

$lim_(t->0)((1+t)^(1/3)-1)/t=1/3 => lim_(x->oo)1/3x*(2x-1)/(x-1)^2=lim_(x->oo)1/3*(2x^2-x)/(x-1)^2=2/3

Ovviamente il tuo modo è più meglio

[gugo82]

Il limite era proprio quello che hai citato tu, ossia [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^\alpha -1}{y} =\alpha$[/tex] con [tex]$\alpha =\tfrac{1}{n}$[/tex] (in particolare, con [tex]$n=3$[/tex]).

[redlex91-votailprof]

Che vergogna... avevo notato una certa somiglianza. In realtà è la $y$ portata dall'altra parte che mi ha tratto in inganno... pazienza.

[ContadinO1]

@gugo82

Non capisco il primo passaggio

$ root(3)((x^5)/(x-1)^2) - x = root(3)((x^3)*(x^2)/((x-1)^2)) -x = x (root(3)((x^2)/((x-1)^2)) -1) $

dove sbaglio??

il fatto è che quando ho provato a risolverlo ho subito pensato ai limiti notevoli e avevo pensato subito a quella formula, però come puoi notare, pecco nel raccogliere e non mi portava da nessuna parte.

quel 1+(---)-1 sotto radice non mi tornano

[redlex91-votailprof]

Io ho semplicemente fatto la divisione tra polinomi, per il teorema della divisione sai che $P(x)=Q(x)*D(x)+R(x) implies (P(x))/(D(x))=Q(x)+(R(x))/(D(x))$. Il $-1$ sta fuori dalla radice.

Lui ha fatto la stessa cosa ma con un trucchetto: quando il grado massimo di $P(x)$ e $D(x)$ è lo stesso ed i coefficienti delle incognite di grado massimo sono uguali, sai già che la divisione darà quoziente $1$ con resto qualcosa. Allora lui sa che verrà $1+...$, prende $(P(x))/(D(x))$ aggiunge e toglie $1$.

[ContadinO1]

ah ok come pensavo... aggiungendo e togliendo la stessa quantità sotto radice posso ricondurmi al caso tipo inglobando il -1 nella "variabile".