Limiti in spazi metrici
Ho un piccolo dubbio formale sui limiti...
Dimostrare, una volta individuato il candidato limite, che la norma (distanza) tra la funzione e tale limite tende a zero ( $ ||bar(f)(bar(x))-bar(L)|| ->0 $ ) tramite disuguaglianze vuol dire verificare il limite (usando in modo "alternativo" la definizione) o è un semplice metodo di calcolo come quello con gli asintotici...? (In pratica, so benissimo che il metodo è ovviamente vero, ma da dove esce fuori?)
Dimostrare, una volta individuato il candidato limite, che la norma (distanza) tra la funzione e tale limite tende a zero ( $ ||bar(f)(bar(x))-bar(L)|| ->0 $ ) tramite disuguaglianze vuol dire verificare il limite (usando in modo "alternativo" la definizione) o è un semplice metodo di calcolo come quello con gli asintotici...? (In pratica, so benissimo che il metodo è ovviamente vero, ma da dove esce fuori?)
Risposte
Cioé stai chiedendo perché
\[\exists \lim_{x\to x_0}f(x)=L\iff \exists \lim_{x\to x_0}\text{d}(f(x),L)=0\]
?
\[\exists \lim_{x\to x_0}f(x)=L\iff \exists \lim_{x\to x_0}\text{d}(f(x),L)=0\]
?
Non proprio... (quello so che è dimostrabile...), mi chiedevo se era una conseguenza della definizione, una sorta di "definizione alternativa" o altro...
(Ad esempio se applico quel metodo e/o verifico il limite "usando la definizione" (Con $ epsilon $ e $ delta(epsilon) $ ...), sto facendo la stessa cosa...?)
(Ad esempio se applico quel metodo e/o verifico il limite "usando la definizione" (Con $ epsilon $ e $ delta(epsilon) $ ...), sto facendo la stessa cosa...?)
Le due condizioni sono equivalenti (nel senso che una implica l'altra e viceversa), quindi se dimostri la prima hai dimostrato la seconda, e viceversa.
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