Limiti in $RR^2$ e coordinate polari.
Volevo porvi un dubbio più che altro "teorico":
Se in un limite risolto con l'uso di coordinate polari il risultato risulta indipendente dall'angolo, posso concludere con certezza (ovvero, può bastare come dimostrazione) per dire che il limite è quello?
Esempio:
$\lim_{(x,y)rarr(0,0)}(1 - cos(sqrt(x^2 + y^2)))/(x^2 + y^2) = \lim_{\rhorarr0}(1 - cos\rho)/\rho^2 = 1/2$ o devo necessariamente effettuare una dimostrazione con maggiorazioni?
Se in un limite risolto con l'uso di coordinate polari il risultato risulta indipendente dall'angolo, posso concludere con certezza (ovvero, può bastare come dimostrazione) per dire che il limite è quello?
Esempio:
$\lim_{(x,y)rarr(0,0)}(1 - cos(sqrt(x^2 + y^2)))/(x^2 + y^2) = \lim_{\rhorarr0}(1 - cos\rho)/\rho^2 = 1/2$ o devo necessariamente effettuare una dimostrazione con maggiorazioni?
Risposte
Se il risultato è indipendente dall'angolo credo che ancora non si può concludere nulla con certezza.
Ad esempio, prendiamo la funzione (un po' fetente, a dire il vero... ma è l'unica che mi sia venuta in mente al momento.
) $f$ definita nel semipiano superiore privato dell'asse delle $x$ da:
$f(rho,theta):=\{ (sin^2(pi/theta rho) ,", se " rho \in [0,theta]),(0, ", se " rho >= theta):}$
Evidentemente, per fissato $\bar(theta) \in ]0,pi[$, si ha $lim_(rho to 0) f(rho,\bar(theta))=f(0)=0$, ma d'altra parte il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to (0,0)$ non esiste (infatti, restringendosi alla curva d'equazione polare $rho=theta/2$ -un arco di spirale- si vede che $f(theta/2,theta)=1$ per ogni $theta \in ]0,pi[$).
Se fai un disegno capisci subito dov'è l'inghippo.
Le cose cambiano se la definizione di limite è verificata uniformemente rispetto all'angolo (ossia si ha $delta_(epsilon,rho,theta) =delta_(epsilon,rho)$): in tal caso puoi concludere che il limite esiste without doubt.
Ad esempio, prendiamo la funzione (un po' fetente, a dire il vero... ma è l'unica che mi sia venuta in mente al momento.
) $f$ definita nel semipiano superiore privato dell'asse delle $x$ da:$f(rho,theta):=\{ (sin^2(pi/theta rho) ,", se " rho \in [0,theta]),(0, ", se " rho >= theta):}$
Evidentemente, per fissato $\bar(theta) \in ]0,pi[$, si ha $lim_(rho to 0) f(rho,\bar(theta))=f(0)=0$, ma d'altra parte il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to (0,0)$ non esiste (infatti, restringendosi alla curva d'equazione polare $rho=theta/2$ -un arco di spirale- si vede che $f(theta/2,theta)=1$ per ogni $theta \in ]0,pi[$).
Se fai un disegno capisci subito dov'è l'inghippo.
Le cose cambiano se la definizione di limite è verificata uniformemente rispetto all'angolo (ossia si ha $delta_(epsilon,rho,theta) =delta_(epsilon,rho)$): in tal caso puoi concludere che il limite esiste without doubt.
Ho capito, grazie 
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