Limiti in $RR^2$
Come si calcolano i limiti in $RR^2$? Ad esempio, $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$.
Sul mio libro è un argomento che non è praticamente trattato, ma siccome c'è questo (unico) esempio di funzione discontinua (in questo caso in $(0,0)$, vorrei almeno capirlo appieno.
In $RR$ in casi come questo (forma indeterminata $0/0$) scomponevo numeratore e denominatore però in questo caso non mi viene in mente nessuna scomposizione. Consigli?
Sul mio libro è un argomento che non è praticamente trattato, ma siccome c'è questo (unico) esempio di funzione discontinua (in questo caso in $(0,0)$, vorrei almeno capirlo appieno.
In $RR$ in casi come questo (forma indeterminata $0/0$) scomponevo numeratore e denominatore però in questo caso non mi viene in mente nessuna scomposizione. Consigli?
Risposte
Ciao HowardRoark,
Prova a passare alle coordinate polari...
Oppure in alternativa potresti provare a porre $y = mx $, in tal modo dovresti accorgerti che il risultato dipende dal valore di $m$, quindi...
Prova a passare alle coordinate polari...
Oppure in alternativa potresti provare a porre $y = mx $, in tal modo dovresti accorgerti che il risultato dipende dal valore di $m$, quindi...
@HowardRoark: Immagino che tu intenda:
\[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \]
In ogni caso, com'è definita la funzione sotto il segno di limite in $(0,0)$? Se non è stata definita, non ha senso parlare della sua continuità in $(0,0)$ non avendo senso \((x,y) \mapsto xy/(x^2+y^2)\) in $(0,0)$.
Comunque, la domanda che poni sul calcolo dei limiti è troppo generica. Se ti interessa approfondire certe cose di analisi, ti consiglio di prendere un libro un po' più ricco di argomenti e indirizzato a corsi di laurea diversi dal tuo: per esempio, il Pagani-Salsa. Altrimenti, anche il Canuto-Tabacco va bene (ma è un po' più semplice del Pagani-Salsa).
\[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \]
In ogni caso, com'è definita la funzione sotto il segno di limite in $(0,0)$? Se non è stata definita, non ha senso parlare della sua continuità in $(0,0)$ non avendo senso \((x,y) \mapsto xy/(x^2+y^2)\) in $(0,0)$.
Comunque, la domanda che poni sul calcolo dei limiti è troppo generica. Se ti interessa approfondire certe cose di analisi, ti consiglio di prendere un libro un po' più ricco di argomenti e indirizzato a corsi di laurea diversi dal tuo: per esempio, il Pagani-Salsa. Altrimenti, anche il Canuto-Tabacco va bene (ma è un po' più semplice del Pagani-Salsa).
"pilloeffe":
Prova a passare alle coordinate polari...
Le ho viste una volta qualche anno fa, intendi quelle che esprimono le coordinate di un punto attraverso l'angolo formato dal vettore che congiunge il punto e il suo modulo? In questo caso $(0,0)$ avrebbe coordinate sempre $(0,0)$
"pilloeffe":
Oppure in alternativa potresti provare a porre $y = mx $, in tal modo dovresti accorgerti che il risultato dipende dal valore di $m$, quindi...
$lim_((x,mx)->(0,0)) (x^2*m)/(x^2(m^2+1)) => lim_(m->?) m/(m^2+1)$ Siccome quel limite fa $1/2$, $m$ tenderebbe ad 1?
"Mephlip":
Immagino che tu intenda:
\[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \]
Esatto, ora correggo.
"Mephlip":
com'è definita la funzione sotto il segno di limite in $(0,0)$?
Nel punto $(0,0)$ la funzione vale $0$
"HowardRoark":
$ lim_((x,mx) \to (0,0)) (x^2*m)/(x^2(m^2+1)) \implies lim_(m to?) m/(m^2+1) $ Siccome quel limite fa $1/2$, $m$ tenderebbe ad $1$?
No, non ci sei...
Se $y = mx $ con $m$ a scelta si ha:
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (xy)/(x^2 + y^2) = \lim_{x \to 0} (mx^2)/(x^2(1 + m^2)) = m/(1 + m^2) $
Dato che il risultato del limite dipende dalla scelta di $m$ esso non è unico (ad esempio per $m = 1$ si ottiene un risultato diverso da quello che si ottiene per $m = 2$), quindi il limite proposto non esiste.
"pilloeffe":
Dato che il risultato del limite dipende dalla scelta di $m$ esso non è unico (ad esempio per $m = 1$ si ottiene un risultato diverso da quello che si ottiene per $m = 2$), quindi il limite proposto non esiste.
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) = lim_(x->0) x^2/(2x^2) = 1/2$. Questi sono i passaggi del mio libro, che in effetti ho capito poco.
Ricordo che la funzione vale 0 in $(x,y)=(0,0)$, magari può essere utile tenerlo a mente.
"HowardRoark":
Questi sono i passaggi del mio libro
Mi pareva di averti già consigliato di buttarlo...
"HowardRoark":
che in effetti ho capito poco.
Il risultato è quello se assumi $y = x $; ma cosa accade se assumi $y = 2x $? Il risultato del limite sarebbe $2/5 $... Quindi, qual è il risultato giusto? Che cosa deduci?
"HowardRoark":
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) = lim_(x->0) x^2/(2x^2) = 1/2$. Questi sono i passaggi del mio libro, che in effetti ho capito poco.
?????
Ma il libro dice solo questo? Possibile? Non dice nulla di teoria o definizione di limite di una funzione di due variabili?Se è così, hai ragione a non capire, non si può capire.
Scusate se mi intrometto, ma è per solidarietà tra economisti.
A me queste lacune del libro mi sembrano troppo pure per un libro per economisti (che detto così sembrano il peggio del peggio, ma non è così
) Se vedi bene, quello sopra è un caso particolare dell'esempio di pilloeffe, per $m=1$, come ti ha già detto pilloeffe: hai posto $y=x$ nella funzione e fatto il limite, ma non è il limite della funzione originaria, cioè non è $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$. Quell'uguaglianza sopra così scritta è falsa, bisognerebbe almeno aggiungere 'per $y=x$'.
Il limite $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$ non esiste, come ti ha detto pilloeffe, non è affatto $1/2$, ma per capirlo mancano un po' di concetti, non si può capire sul vuoto.
"pilloeffe":
Mi pareva di averti già consigliato di buttarlo...
Infatti ho accolto il tuo consiglio e ne ho comprato un altro, ora devo buttare anche questo?
"pilloeffe":
Il risultato è quello se assumi $y = x $; ma cosa accade se assumi $y = 2x $? Il risultato del limite sarebbe $2/5 $... Quindi, qual è il risultato giusto? Che cosa deduci?
Ora ho capito, in effetti sul libro si assume $y=x$.
"gabriella127":
?????
Se è così, hai ragione a non capire, non si può capire.
No scusate, non ho riportato tutto il testo: prima c'è scritto che "in particolare, quando ci si avvicina lungo $x=y$..." e poi si dà il risultato di $1/2$. Sono stato frettoloso a scrivere sia perché ad economia non si studiano le funzioni angolari, e quindi di limiti che non esistono se ne trovano ben pochi, sia perché è il primo limite in $RR^2$ che vedo e credevo che quei passaggi fossero sufficienti a giustificare quel risultato. Non avevo capito che il limite non esistesse proprio
"gabriella127":
Il limite $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$ non esiste, come ti ha detto pilloeffe, non è affatto $1/2$, ma per capirlo mancano un po' di concetti, non si può capire sul vuoto.
Diciamo che è un esempio tratto da un paragrafo sulle funzioni continue in $RR^2$ e a titolo di esempio si voleva far vedere una funzione discontinua senza approfondire l'argomento. Una cosa buttata lì insomma, però io di base cerco di capire tutto quello che c'è scritto e quindi tendo a farmi molti problemi
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