Limiti in più variabili
Buonasera a tutti,
ho appena cominciato lo studio dei limiti di funzioni in R^2, ma non mi è ben chiaro "dove pescare" eventuali curve da usare per le restrizioni. Per il test delle rette ho sempre considerato il fascio passante per il punto in cui calcolo il limite, ma volendo considerare anche parabole o altre curve, come devo comportarmi?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
ho appena cominciato lo studio dei limiti di funzioni in R^2, ma non mi è ben chiaro "dove pescare" eventuali curve da usare per le restrizioni. Per il test delle rette ho sempre considerato il fascio passante per il punto in cui calcolo il limite, ma volendo considerare anche parabole o altre curve, come devo comportarmi?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Ciao
La restrizione a rette fa parte di un fatto più generale che discende direttamente dal teorema del limite di una composizione, ovvero:
se $A subset RR^n$ è un aperto(per comodità), $l$ di accumulazione per $A$ e $f:A->RR$, $g:[a,b]->A$ sono due funzioni tali che
$lim_(t->t_0)g(t)=l$ con $g(t)nel$ in almeno un intorno di $l$
$lim_(x->l)f(x)=m$
allora $lim_(t->t_0)f(g(t))=m$
questo si traduce, nel tuo caso, che se $f$ ammette limite in un punto di accumulazione $l$ allora per ogni curva che tende ad $l$ la composizione deve avere lo stesso limite.
va da se che se per almeno una curva si ha $lim_(t->t_0)f(g(t)) ne m$, considerando che $g(t)->l$, si deve avere che $lim_(x->l)f(x)nem$
se posti qualche esempio possiamo anche vedere come risolverlo
La restrizione a rette fa parte di un fatto più generale che discende direttamente dal teorema del limite di una composizione, ovvero:
se $A subset RR^n$ è un aperto(per comodità), $l$ di accumulazione per $A$ e $f:A->RR$, $g:[a,b]->A$ sono due funzioni tali che
$lim_(t->t_0)g(t)=l$ con $g(t)nel$ in almeno un intorno di $l$
$lim_(x->l)f(x)=m$
allora $lim_(t->t_0)f(g(t))=m$
questo si traduce, nel tuo caso, che se $f$ ammette limite in un punto di accumulazione $l$ allora per ogni curva che tende ad $l$ la composizione deve avere lo stesso limite.
va da se che se per almeno una curva si ha $lim_(t->t_0)f(g(t)) ne m$, considerando che $g(t)->l$, si deve avere che $lim_(x->l)f(x)nem$
se posti qualche esempio possiamo anche vedere come risolverlo
Ciao! Ti ringrazio per la risposta esaustiva, ma il mio dubbio è più pratico che teorico. Non so come scegliere le curve da utilizzare per applicare il concetto in questione. Il docente ci ha mostrato qualche esempio con le rette, ma ci ha invitato anche a provare con parabole e altre coniche.
Ad esempio, nel calcolare il seguente limite:
$lim_((x,y)->(0,0))((x-1)^2*y)/((x-1)^4+y^2)$
il test delle rette è inconcludente. Si potrebbe provare a maggiorare, ma volendo effettuare altri test, come scelgo altre curve?
Grazie ancora!
Ad esempio, nel calcolare il seguente limite:
$lim_((x,y)->(0,0))((x-1)^2*y)/((x-1)^4+y^2)$
il test delle rette è inconcludente. Si potrebbe provare a maggiorare, ma volendo effettuare altri test, come scelgo altre curve?
Grazie ancora!
Ad esempio, ho difficoltà a dimostrare che il seguente limite non esiste:
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2)/x$.
Infatti, sia il test delle rette (con $y=mx$) che quello delle parabole (con y=$\alphax^2$) restituiscono come candidato limite il valore $f(x,y)=0$. In questi casi come procedo?
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2)/x$.
Infatti, sia il test delle rette (con $y=mx$) che quello delle parabole (con y=$\alphax^2$) restituiscono come candidato limite il valore $f(x,y)=0$. In questi casi come procedo?
Per l'ultimo limite potresti provare con $y=\sqrt{x}$.
Ciao Mephlip, ti ringrazio per la risposta, ma più che risolvere l'esercizio mi interesserebbe capire come farlo. Perché scegliere una determinata curva? Che condizioni deve rispettare? In sostanza, come procedo quando i più banali test con rette e parabole risultano inconcludenti?
Prego! anto_zoolander ha già scritto rigorosamente il teorema che assicura questo procedimento, quindi i vincoli li deduci da quello studiandolo attentamente.
Per la parte pratica non è che ci sia una regola generale, va molto ad esperienza ed occhio (un po' come il calcolo integrale, ora uno li sa fare ma all'inizio si fa le stesse domande che giustamente stai ponendo tu ora, del tipo: "come si fanno gli integrali?"; ci siamo passati tutti
). È molto trial and error, come molte cose in matematica.
Per dirti, a me è venuto in mente di provare con la radice perché la frazione può avere limite finito e non nullo solo se il grado del termine rilevante al limite del denominatore e del numeratore è lo stesso (faccio ciò per dimostrare che il limite non esiste); perciò ho cercato di pareggiare l'esponente nell'ottica che, essendo un limite in $(0,0)$, l'esponente pareggiato al numeratore fosse quello rilevante al limite (ossia quello di grado più piccolo).
Non so quanto ti possa essere utile come risposta, spero di sì!
Comunque, ora che rileggo questo limite:
non è una forma indeterminata e la funzione è continua in $(0,0)$, quello si fa per sostituzione; sei sicuro che non sia un limite per $(x,y)\to(1,0)$?
Per la parte pratica non è che ci sia una regola generale, va molto ad esperienza ed occhio (un po' come il calcolo integrale, ora uno li sa fare ma all'inizio si fa le stesse domande che giustamente stai ponendo tu ora, del tipo: "come si fanno gli integrali?"; ci siamo passati tutti
). È molto trial and error, come molte cose in matematica.Per dirti, a me è venuto in mente di provare con la radice perché la frazione può avere limite finito e non nullo solo se il grado del termine rilevante al limite del denominatore e del numeratore è lo stesso (faccio ciò per dimostrare che il limite non esiste); perciò ho cercato di pareggiare l'esponente nell'ottica che, essendo un limite in $(0,0)$, l'esponente pareggiato al numeratore fosse quello rilevante al limite (ossia quello di grado più piccolo).
Non so quanto ti possa essere utile come risposta, spero di sì!
Comunque, ora che rileggo questo limite:
"RP-1":
$lim_((x,y)->(0,0))((x-1)^2*y)/((x-1)^4+y^2)$
non è una forma indeterminata e la funzione è continua in $(0,0)$, quello si fa per sostituzione; sei sicuro che non sia un limite per $(x,y)\to(1,0)$?
Grazie per la precisazione! Cercherò di esercitarmi il più possibile. Per quanto riguarda il primo esempio ho commesso un errore di battitura, come supponevi è per $(x,y)->(1,0)$.
Prego!
Ok, in tal caso il suggerimento è (metto in spoiler almeno se non vuoi leggerlo puoi non leggerlo)
Ok, in tal caso il suggerimento è (metto in spoiler almeno se non vuoi leggerlo puoi non leggerlo)
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