Limiti in più variabili.

[anto_zoolander]

Mi ponevo una domanda.

Supponiamo di avere $f:A->RR$ con $A inRR^n$ e prendiamo $x_0=(c_1,...,c_n)$ di accumulazione per $A$ e supponiamo che $f$ per un qualche motivo non sia continua in $x_0$.
Ora supponiamo anche che per un certo $k inNN:0
Se mostriamo che $exists l inRR:lim_((x_(k+1),..,x_n)->0)f(c_1,..,c_k,x_(k+1),..,x_n)=l$
Allora $lim_(x->x_0)f(x)=l$

Per esempio la funzione $f(x,y)=sin(xy)/y$ è tale per cui fissato $x_0inRR$ sia abbia:

$lim_(y->0)sin(x_0y)/y={(x_0 if x_0ne0),(0 if x_0=0):}$

Questo è sufficiente per dire che il limite esiste sia in $(0,0)$ che in $(x_0,y)$?

[dissonance]

Buh, non si capisce la tua domanda. In ogni caso, no, senza considerare TUTTE le variabili, *tutte insieme* si ficcherà sempre qualche controesempio.

Se mi posso permettere, sono d'accordo col suggerimento di Plepp: invece di ossessionarti a cercare risultati generali, pensa più in piccolo, fai dei conti, fatti molti esempi.

EDIT: Non so se devo, ma ti lascio questo link:

https://math.stackexchange.com/q/1659520/8157

Questo signore si è posto una domanda sostanzialmente simile alla domanda fondamentale che ti stai ponendo tu (e che se interpreto il tuo pensiero è: come calcolare limiti di più variabili riconducendosi al caso di meno variabili?). La risposta è che non è possibile alcun teorema generale e che è indispensabile ragionare caso per caso.

Per questo credo sia meglio farsi un buon bagaglio di esempi, piuttosto che un bagaglio di teoremi generali.

[anto_zoolander]

Ciao dissonance

Hai capito come vivo la matematica ormai
Gli esercizi mi annoiano un po’ al momento.

Comunque ottimo post!