Limiti in due variabili

[Krocket]

Boungiorno, ho un paio di domande sui limiti:

1)$ lim_(x,y -> 0,0) (e^(x^3+y^2)-1)/(x^3+y^3+x^6+y^8) $
per $x -> 0$ si ha $ lim_(x -> 0) (e^(y^2)-1)/(y^3(1+y^5)) = (e^(y^2)-1)/(y^3(1+y^5))$
per $y -> 0$ si ha $ lim_(y -> 0) (e^(x^3)-1)/(x^3(1+x^3)) = (e^(x^3)-1)/(x^3(1+x^3))$
Vedo che i limiti sono diversi, quidi posso concludere che il limite non esiste? Oppure dovrei studiare per quali valori
$(e^(y^2)-1)/(y^3(1+y^5)) = (e^(x^3)-1)/(x^3(1+x^3))$ se cosi fosse dopo come procedo?

Il limite lungo tutte le rette e in coordinate polari viene $ oo $

2) $ lim_(x,y -> 0,0) (y^2sinx)/(2(cosy-1)x) $
per $x -> 0 $ il limite e' $0/0$
per $y -> 0 $ il limite e' $0/0$
limite lungo tutte le rette e in coordinate polari e' $ -1/4 $
In questi casi, quando i limiti lungo le rette sono indeterminati, mentre lungo tutte le rette e in coordinate polari e' $ -1/4 $ posso concludere che il limite fa $-1/4$ oppure no?

[Giuly191]

Per il primo esercizio: i limiti che hai scritto non sono nell'origine, stai semplicemente considerando $f(x,0)$ e $f(0,y)$, ossia la restrizione della funzione agli assi coordinati. E' un buon inizio, devi però dimostrare che $lim_(x-> 0) f(x,0) != lim_(y->0) f(0,y)$; facendo questo hai provato che il limite non esiste. (In questo caso funziona)
Per il secondo: usando gli sviluppi di Taylor per le funzioni di una variabile: $sin x sim x$ e $cos y sim 1- 1/2 y^2$ (ovviamente in un intorno di $x=0$ e $y=0$), puoi scrivere $lim_( (x,y)->(0,0) )( y^2 sinx)/(2(cosy-1)x) = lim_( (x,y)->(0,0) ) (y^2 x)/ (-y^2 x) = -1$ .

[Krocket]

Grazie Giuly19