Limiti in due variabili
Salve a tutti. Sono alle prese con i limiti di funzioni a due variabili:
$lim_((x;y)->(0;0))(x^3)/((x-y)^2 + y^2)$
Ho un dubbio sulla correttezza di alcuni metodi risolutivi; in questo caso, ponendo $u = x - y$ e $v = y$, ottengo
$lim_((u;v)->(0;0))(u+v)^3/(u^2+v^2)$
Prima domanda: in questo caso il cambiamento di variabili è legittimo in quanto "biunivoco", giusto? Prendendo, ad esempio, $y^2 = k$, si escluderebbe tutto il semispazio delle $k$ negative, quindi il passaggio non sarebbe corretto....ho ragione o no?
A questo punto ho pensato di porre $u = R cos theta$ e $v = R sin theta$, ovvero passare alle coordinate polari; il limite diventa
$lim_(R->0)(R^3(cos theta + sin theta)^3)/(R^2(cos^2 theta + sin^2 theta))$
cioè $lim_(R->0)R(cos theta + sin theta)^3 = 0$
E' lecito fare una cosa del genere, oppure prima dovrei verificare che il nuovo sistema di riferimento abbia una base ortogonale, in modo da individuare correttamente l'angolo $theta$?
In generale, se devo dimostrare che un limite ( per $x$ e $y$ che tendono a zero) non esiste, il metodo più furbo è quello di trovare una restrizione per la quale il grado del denominatore eguaglia o supera quello del numeratore (right?): ma esiste un modo per vedere a priori se il limite esiste oppure no?
Grazie mille per l'aiuto.
P.S: non conosco il risultato del limite e non so se esiste.
$lim_((x;y)->(0;0))(x^3)/((x-y)^2 + y^2)$
Ho un dubbio sulla correttezza di alcuni metodi risolutivi; in questo caso, ponendo $u = x - y$ e $v = y$, ottengo
$lim_((u;v)->(0;0))(u+v)^3/(u^2+v^2)$
Prima domanda: in questo caso il cambiamento di variabili è legittimo in quanto "biunivoco", giusto? Prendendo, ad esempio, $y^2 = k$, si escluderebbe tutto il semispazio delle $k$ negative, quindi il passaggio non sarebbe corretto....ho ragione o no?
A questo punto ho pensato di porre $u = R cos theta$ e $v = R sin theta$, ovvero passare alle coordinate polari; il limite diventa
$lim_(R->0)(R^3(cos theta + sin theta)^3)/(R^2(cos^2 theta + sin^2 theta))$
cioè $lim_(R->0)R(cos theta + sin theta)^3 = 0$
E' lecito fare una cosa del genere, oppure prima dovrei verificare che il nuovo sistema di riferimento abbia una base ortogonale, in modo da individuare correttamente l'angolo $theta$?
In generale, se devo dimostrare che un limite ( per $x$ e $y$ che tendono a zero) non esiste, il metodo più furbo è quello di trovare una restrizione per la quale il grado del denominatore eguaglia o supera quello del numeratore (right?): ma esiste un modo per vedere a priori se il limite esiste oppure no?
Grazie mille per l'aiuto.
P.S: non conosco il risultato del limite e non so se esiste.
Risposte
Ciao. Quello che hai detto è tutto corretto. Solo che per il primo cambio di variabile dovresti fare vedere che nessun punto di un intorno bucato di $(x,y)=(0,0)$ viene trasformato in $(u,v)=(0,0)$.
Per quanto riguarda l'esistenza di un modo a priori per capire se il limite esiste o no, ne conosco uno, che non ho mai dimostrato, quindi non garantisco funzioni sempre.
Quando $(x,y)->(0,0)$ confronto il grado più basso dei monomi a numeratore ($n$) e il grado più basso dei monomi a denominatore ($d$) (quelli di grado più alto sono trascurabili rispetto a questi).
Se $n>d$, il limite dovrebbe venire $0$.
Se $n=d$, il limite dovrebbe venire indeterminato.
Se $n
Se spuntano funzioni tipo seno, o altre non polinomiali, si prende il primo termine dello sviluppo di taylor per capire il grado.
Nel tuo esempio di limite: $n=3$, $d=2$ $->lim=0$, che è vero.
Per quanto riguarda l'esistenza di un modo a priori per capire se il limite esiste o no, ne conosco uno, che non ho mai dimostrato, quindi non garantisco funzioni sempre.
Quando $(x,y)->(0,0)$ confronto il grado più basso dei monomi a numeratore ($n$) e il grado più basso dei monomi a denominatore ($d$) (quelli di grado più alto sono trascurabili rispetto a questi).
Se $n>d$, il limite dovrebbe venire $0$.
Se $n=d$, il limite dovrebbe venire indeterminato.
Se $n
Se spuntano funzioni tipo seno, o altre non polinomiali, si prende il primo termine dello sviluppo di taylor per capire il grado.
Nel tuo esempio di limite: $n=3$, $d=2$ $->lim=0$, che è vero.
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