Limiti in due variabili
Ho il seguente limite:
definito per $ x^2+y^2!= 0 $ . E' una funzione continua ovunque nel suo dominio ma non nell'origine. Per verificarne la continuità nel punto devo dimostrare che $ EE lim_((x,y) -> (0,0))(xy)/(x^2+y^2) $ e che il suo valore $ l>0 $ coincida col valore della funzione calcolato nel punto. Restringendo $ y=mx $ o passando alle coordinate polari si dimostra che questo limite non esiste, quindi la funzione ha un punto di discontinuità in $ (0,0) $. Ciononostante non riesco a dimostrare che $f(0,0)=0$. E' evidente la forma indeterminata da cui il confronto tra infinitesimi $ lim_(x -> 0)| (xy)/(x^2+y^2) | $, ma non riesco a svolgerlo. Ho pensato anche di determinare separatamente l'ordine di infinitesimo di numeratore e denominatore, ma non ricordo se per una funzione di due variabili sia corretto scrivere ad es. $ lim_(x -> 0)| (xy)/(x^alpha) | $ e considerando magari $y$ una costante. Potete darmi una dritta in merito? Grazie!
$ (xy)/(x^2+y^2) $
definito per $ x^2+y^2!= 0 $ . E' una funzione continua ovunque nel suo dominio ma non nell'origine. Per verificarne la continuità nel punto devo dimostrare che $ EE lim_((x,y) -> (0,0))(xy)/(x^2+y^2) $ e che il suo valore $ l>0 $ coincida col valore della funzione calcolato nel punto. Restringendo $ y=mx $ o passando alle coordinate polari si dimostra che questo limite non esiste, quindi la funzione ha un punto di discontinuità in $ (0,0) $. Ciononostante non riesco a dimostrare che $f(0,0)=0$. E' evidente la forma indeterminata da cui il confronto tra infinitesimi $ lim_(x -> 0)| (xy)/(x^2+y^2) | $, ma non riesco a svolgerlo. Ho pensato anche di determinare separatamente l'ordine di infinitesimo di numeratore e denominatore, ma non ricordo se per una funzione di due variabili sia corretto scrivere ad es. $ lim_(x -> 0)| (xy)/(x^alpha) | $ e considerando magari $y$ una costante. Potete darmi una dritta in merito? Grazie!
Risposte
La domanda che poni è priva di senso. Tu stesso hai detto che f non è definita nell'origine.
Se passi alle coordinate polari ti rendi ulteriormente conto che il limite non esiste
Provo a spiegarmi meglio, evidentemente ho scelto l'esempio sbagliato.
Io so che la definizione di continuità di una funzione in due variabili prevede che $ lim_((x,y) -> (x_0,y_0))f(x,y)=f(x_0,y_0) $.
Ora… Io ho la funzione
che dovrebbe essere definita per $ sqrt(x^2+y^2)>0 $ in quanto $ { ( sqrt(x^2+y^2)!=0 ),( x^2+y^2>=0 ):}rArr sqrt(x^2+y^2)>0 $. Tuttavia il testo dice che è definita anche in $(0,0)$ affermando che $f(0,0)=0$. In effetti, passando alle coordinate polari si dimostra che
per cui la condizione di continuità risulterebbe verificata e la funzione sarebbe continua anche nell'origine.
Ora, quello che non ho capito è:
1) perchè nel dominio è compresa anche l'origine?
2) se l'origine è compresa, come si dimostra analiticamente che la forma indeterminata è un infinitesimo per $ x->0 $?
Io so che la definizione di continuità di una funzione in due variabili prevede che $ lim_((x,y) -> (x_0,y_0))f(x,y)=f(x_0,y_0) $.
Ora… Io ho la funzione
$ f(x,y)=(y^2|xy|(x^3-y^2))/(sqrt(x^2+y^2)) $
che dovrebbe essere definita per $ sqrt(x^2+y^2)>0 $ in quanto $ { ( sqrt(x^2+y^2)!=0 ),( x^2+y^2>=0 ):}rArr sqrt(x^2+y^2)>0 $. Tuttavia il testo dice che è definita anche in $(0,0)$ affermando che $f(0,0)=0$. In effetti, passando alle coordinate polari si dimostra che
$ lim_(rho -> 0^+)|(rho^2 sin^2Theta|rho cosTheta \cdot rho sinTheta |(rho ^3cos^3Theta -rho ^2sin^2Theta ))/(sqrt(rho^2cos^2Theta+rho^2sin^2Theta))| ->lim_(rho -> 0^+)rho^6+rho^5=0 $
per cui la condizione di continuità risulterebbe verificata e la funzione sarebbe continua anche nell'origine.
Ora, quello che non ho capito è:
1) perchè nel dominio è compresa anche l'origine?
2) se l'origine è compresa, come si dimostra analiticamente che la forma indeterminata è un infinitesimo per $ x->0 $?
Se il libro dice che \(f(0,0)=0\), allora \((0,0)\) appartiene al dominio. "Dominio" è l'insieme dei punti \((x, y)\) su cui l'espressione \(f(x, y)\) è definita. In questo caso, \(f(0,0)\) è definita e vale \(0\). Potremmo avere assegnato qualsiasi altro valore a \(f(0,0)\), ma chiaramente facendo così avremmo buttato via la continuità. Affinché \(f\) sia continua in \((0,0)\), è necessario e sufficiente che \(f(0,0)\) sia uguale a \(\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)\).
"dissonance":
Se il libro dice che \(f(0,0)=0\), allora \((0,0)\) appartiene al dominio. In questo caso, \(f(0,0)\) è definita e vale \(0\).
Il testo non dice che $ f(0,0)=0 $. Dice testualmente che "osservando bene, la funzione in $(0,0)$ vale $0$", il che presuppone una qualche giustificazione. Io l'unica cosa che vedo è che $ (0^3|0\cdot 0|(0^3-0^2))/(sqrt(0^3+0^2))=0/0 $, per cui suppongo che ci sia da fare un qualche ragionamento sulla gerarchia degli infinitesimi che mi porta a dire che $f(x)$ ha ordine superiore. Sbaglio?
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