Limiti in due variabili

[NGC5033]

Salve, ho bisogno di essere in grado di risolvere gli esercizi che sto per pubblicare qui sotto nello spoiler, sono limiti in due variabili un po' particolari che fa il mio professore, dico particolari perché per la maggior parte dei casi, i limiti li ha "costruiti" lui stesso per fare in modo che noi li semplificassimo prima tramite l'utilizzo di limiti notevoli, e poi una volta ridotti ad una forma più semplice risolverli col metodo dei vari cammini sulle varie curve.

Come esempio posso fornirvi questo esercizio svolto da lui per farvi capire il procedimento che richiede il professore:

$lim_((x,y)->(0,0))sin(x^2-y^4)/log(1+x^2+y^4)$

$lim_((x,y)->(0,0))sin(x^2-y^4)/(x^2-y^4)*(x^2-y^4)/(x^2+y^4)*(x^2+y^4)/log(1+x^2+y^4)$

$lim_((x,y)->(0,0))1*(x^2-y^4)/(x^2+y^4)*1$

${(lim_(y->0,x=0)-y^4/y^4=-1),(lim_(x->0,y=0)x^2/x^2=1):}$

Quindi il limite non esiste.

Altro esempio svolto dal professore:

$lim_((x,y)->(0,0))(1+cos(x^3+y^2)sin(x^2y))/((1-e^-(x^4+y^2))(1+sin(x^2+y^2)))$

$lim_((x,y)->(0,0))sin(x^2y)/(x^2y)*(x^2y)/(1-e^-(x^4+y^2))*(-(x^4+y^2))/(-(x^4+y^2))*(1+cos(x^3+y^2))/(1+sin(x^2+y^2))$

$lim_((x,y)->(0,0))1*(x^2y)/(1-e^-(x^4+y^2))*(-(x^4+y^2))/(-(x^4+y^2))*2$

$2lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(1-e^-(x^4+y^2))*(-(x^4+y^2))/(-(x^4+y^2))$

$2lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(-(x^4+y^2))*(-(x^4+y^2))/(-(e^(-(x^4+y^2))-1))$

$2lim_((x,y)->(0,0))(x^2y)/(x^4+y^2)$

A questo punto non rifaccio i calcoli finali, comunque pone prima $y=x^2$, poi $y=-x^2$, i limiti vengono due risultati diversi ($1/2$ e $-1/2$) e quindi il limite non esiste.

I miei problemi sono i seguenti:

1. Non ho capito come ha fatto nel primo limite, a semplificare:

$(x^2+y^4)/log(1+x^2+y^4)$ in $1$, il limite notevole più simile che mi viene in mente è questo:

$lim_(x->0)log(1+f(x))/f(x) = 1$, ma numeratore e denominatore sono invertiti... sarà una mia grossa mancanza di algebra ma non capisco come possa essere la stessa cosa.

2. Di nuovo, analogo di sopra, come ha fatto a semplificare:

$(-(x^4+y^2))/(-(e^(-(x^4+y^2))-1))$ in $1$ ?

Il limite notevole che mi viene in mente è:

$lim_(x->0)(e^f(x)-1)/f(x) = 1$, ma di nuovo numeratore e denominatore sono invertiti...

3. Non capisco come riesce a decidere arbitrariamente di moltiplicare e dividere tutto il limite con espressioni praticamente perfette che consentano poi di risolversi i limiti notevoli a suo piacimento. Mi piacerebbe avere una sorta di procedimento logico/meccanico per sapere esattamente per cosa devo dividere e moltiplicare tutta la roba. D'accordo che ad occhio posso vedere che limiti notevoli ci siano, e agire di conseguenza, ma se questi limiti sono invertiti tra denominatore e numeratore mi blocco perché non capisco il motivo per cui sia possibile svolgerli.

4. Mi piacerebbe se qualcuno di voi mi potesse risolvere qualcuno dei limiti che ho inserito sotto lo spoiler, non chiedo tutti chiaramente, ma qualche esempio rappresentativo che mi possa aiutare a capire qualcosa in più, perché come avete potuto constatare sono un po' in alto mare. Man mano che li capisco cercherò di scrivere su questo topic dei limiti che risolvo (se ci riesco) e vi chiederò gentilmente di correggermeli.

Grazie mille in anticipo.

[gugo82]

Quello dell'uso dei limiti notevoli e dell'algebra dei limiti sono tecniche che dovresti saper padroneggiare già di Analisi I; quindi direi che è il caso che tu rifletta un po' sui punti 1 e 2 (la cui soluzione è immediata) e che tu proponga qualche tentativo di soluzione, così possiamo limare l'uso delle tecniche standard (cosa che risolve i punti 3 e 4).

[NGC5033]

Ok, ho pensato che l'inverso di un limite notevole, è anche l'inverso del risultato, che in questo caso essendo 1, rimane 1.

Quindi se ho capito bene,

$ lim_(x->0)x^2/(1-cos(x))=2$, giusto?

[gugo82]

Esatto, come dovresti già ben sapere da Analisi I.

[NGC5033]

Hai ragione, purtroppo mi trovo qui a dover risolvere problemi di Analisi II dopo aver preso 18 ad Analisi I, che so benissimo che non avrei meritato. In ogni caso, qui mi trovo, ce la metto tutta a capire ma senza una (grossa) mano non vado da nessuna parte. Ti ringrazio per non darmi le soluzioni immediatamente ma al contrario cercando di farmici arrivare. Ora sto cercando di risolvere il secondo esercizio della lista sotto spoiler, nel frattempo hai dei consigli da darmi per i punti 3 e 4?

[NGC5033]

Ho provato a fare vari esercizi e sembrano venirmi senza grossi problemi. Vorrei solo chiedere se questo esercizio che ho svolto è corretto, perché non ne sono molto sicuro (se era necessario aprire un altro topic mi scuso, la prossima volta farò diversamente):

$ lim_((x,y)->(0,0))(sin(x^4+y^4)*tan(x^4+y^4))/(1-cos(x^4+y^4))*(1+log(1+x^2+y^2)) $

$ lim_((x,y)->(0,0))(sin(x^4+y^4)*tan(x^4+y^4))/(1-cos(x^4+y^4))*(1+log(1+x^2+y^2))*((x^4+y^4)^2)/((x^4+y^4)^2) $

$ lim_((x,y)->(0,0))sin(x^4+y^4)/(x^4+y^4)*tan(x^4+y^4)/(x^4+y^4)*((x^4+y^4)^2)/(1-cos(x^4+y^4))*(1+log(1+x^2+y^2)) $

$ lim_((x,y)->(0,0))1*1*2*(1+log(1+x^2+y^2)) $

$ 2lim_((x,y)->(0,0))1+log(1+x^2+y^2) $

$ 2lim_((x,y)->(0,0))1+log(1+0+0) $

$ 2lim_((x,y)->(0,0))1+0 $

Limite esiste ed è uguale a $2$