Limiti in due variabili
Ciao a tutti ho un dubbio sul calcolo dei limiti in due variabili. Quando calcolo il limite andando a studiare una curva quale curva devo prendere? Cioè non capisco per esempio perché nel calcolo dei limiti il mio professore alcune volte studi la funzione con la curva (t,mt) altre volte con la curva (0,t) oppure (t,0).
Io vorrei capire su quali basi devo scegliere la curva in cui studiare il limite.
Grazie mille!
Io vorrei capire su quali basi devo scegliere la curva in cui studiare il limite.
Grazie mille!
Risposte
in base a come è costruita la funzione, usa le restrizioni $(t,mt)$, oppure $(0,t)$ ect. ma non c' è una regola generale
Grazie della risposta..però come faccio a capire quale è più adeguata? È una volta che calcolo il limite su quella curva posso dire con certezza che il limite vale il numero che mi esce?
per capire qual è la più adeguata...devi solo fare tanti esercizi 
Poi no, il fatto che da una restrizione esca un numero non ti autorizza a dire che il limite è quel numero, ma solo che se il limite esiste, allora deve essere uguale a quel numero che ti è uscito, ma non altro!
Poi no, il fatto che da una restrizione esca un numero non ti autorizza a dire che il limite è quel numero, ma solo che se il limite esiste, allora deve essere uguale a quel numero che ti è uscito, ma non altro!
Ok..è poi come faccio a verificare che il limite esista e sia uguale a quel numero che ho trovato? Provo con un altra restrizione? Scusa se ti rompo ma non capisco nulla!
facciamo un esempio:
consideriamo il seguente limite:
\begin{align*}
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^4}
\end{align*}
si ha una forma indeterminata $0/0;$ possiamo vedere cosa succede facendo tendere $(x,y)$ a $(0,0)$ lungo una qualsiasi retta $y=mx:$
\begin{align*}
\lim_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{x(mx)^2}{x^2+(mx)^4}=\lim_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{ m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=0
\end{align*}
quindi se il limite esiste, allora il suo vaolre deve essere $0:$ infatti, il comportamento della funzione lungo alcune o tutte le rette che si avvicinanano a $(0,0)$ non permette di concludere l'esistenza del limite per $(x,y)\to(0,0).$ Infatti, se proviamo ad avvicinarci a $(0,0)$ lungo le parabole di equazione $x=y^2$ otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{(y^2,y)\to (0,0)} \frac{y^4}{2y^4 }= \frac{1}{2}
\end{align*}
e dunque avvicinadoci all'origine lungo questa curva, la funzione ha un valore costante uguale a $1/2,$ e dunque non tende a zero. Allora possiamo certamente dire che quel limite non esiste.
consideriamo il seguente limite:
\begin{align*}
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^4}
\end{align*}
si ha una forma indeterminata $0/0;$ possiamo vedere cosa succede facendo tendere $(x,y)$ a $(0,0)$ lungo una qualsiasi retta $y=mx:$
\begin{align*}
\lim_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{x(mx)^2}{x^2+(mx)^4}=\lim_{(x,mx)\to (0,0)} \frac{ m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=0
\end{align*}
quindi se il limite esiste, allora il suo vaolre deve essere $0:$ infatti, il comportamento della funzione lungo alcune o tutte le rette che si avvicinanano a $(0,0)$ non permette di concludere l'esistenza del limite per $(x,y)\to(0,0).$ Infatti, se proviamo ad avvicinarci a $(0,0)$ lungo le parabole di equazione $x=y^2$ otteniamo:
\begin{align*}
\lim_{(y^2,y)\to (0,0)} \frac{y^4}{2y^4 }= \frac{1}{2}
\end{align*}
e dunque avvicinadoci all'origine lungo questa curva, la funzione ha un valore costante uguale a $1/2,$ e dunque non tende a zero. Allora possiamo certamente dire che quel limite non esiste.
per esercizio, prova a calcolare:
\begin{align*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x\cdot\ln (1+xy)}{x^2\cdot\sin^2 x + 2y^2} \end{align*}
\begin{align*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x\cdot\ln (1+xy)}{x^2\cdot\sin^2 x + 2y^2} \end{align*}
Grazie mille..anche per l esercizio! Sei stato efficientismo!
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