Limiti in 2 variabili
Salve ho un problema con questi due esercizi, che sono simili:
Determinare se esistono e calcolare i seguenti limiti:
1) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^3)/(x^3 +y^3))$
2) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^2)/(x^2 -y^2))$
In entrambi i casi ho prima fatto il limite sostituendo $y=\lambda *x$, poi sostituendo $y=x^\alpha$ $\alpha >0$. Questi limiti mi vengono 0 e quindi mi fanno supporre che i limiti siano effettivamente 0.
Come verifica finale faccio le maggiorazioni:
1) $0<= ((x^3*y^3)/(x^3 +y^3)) <= (x^3 +y^3)/4 = 0$ --> verificato limite=0
2) non trovo maggiorazioni per togliermi $(x^2 -y^2)$ a denominatore
Entrambi i limiti non esistono (risultati), dove sbaglio??
Determinare se esistono e calcolare i seguenti limiti:
1) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^3)/(x^3 +y^3))$
2) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^2)/(x^2 -y^2))$
In entrambi i casi ho prima fatto il limite sostituendo $y=\lambda *x$, poi sostituendo $y=x^\alpha$ $\alpha >0$. Questi limiti mi vengono 0 e quindi mi fanno supporre che i limiti siano effettivamente 0.
Come verifica finale faccio le maggiorazioni:
1) $0<= ((x^3*y^3)/(x^3 +y^3)) <= (x^3 +y^3)/4 = 0$ --> verificato limite=0
2) non trovo maggiorazioni per togliermi $(x^2 -y^2)$ a denominatore
Entrambi i limiti non esistono (risultati), dove sbaglio??
Risposte
Buona sera Boomer,
Allora la maggiorazione che proponi tu è falsa per un intorno appropriato, ed infatti sarei curioso di sapere il ragionamento che ti ha portato ad essa.
Cerchiamo ora di mostrare che il primo limite non esiste, allora chiaramente il primo limite non esisterà se riesco a trovare una strada per cui la somma a denominatore tende più velocemente a zero rispetto al prodotto a numeratore, quindi mi viene spontaneo studiare la diseguaglianza $x^3y^3\frac{-x^3}{x^3+1}$ quindi la cosa più semplice da fare è valutare il limite lungo la curva $y^3=\frac{-x^3}{x^3+1}$ (dove numeratore e denominatore sono uguali) e sperare che ci vada bene.
Notiamo prima di tutto che su tale curva $y\to 0$ per $x\to 0$ quindi siamo certi di eseguire il limite nel punto giusto.
Sostituendo nella funzione otteniamo
$$
\frac{\frac{-x^6}{x^3+1}}{x^3-\frac{x^3}{x^3+1}}=-1
$$
Poiché sulle rette ad esempio il limite vale $0$ concludiamo che il limite non esiste.
Per il secondo limite puoi usare la stessa tecnica che ti ho appena mostrato per trovare la curva che dimostra la non esistenza del limite.
Allora la maggiorazione che proponi tu è falsa per un intorno appropriato, ed infatti sarei curioso di sapere il ragionamento che ti ha portato ad essa.
Cerchiamo ora di mostrare che il primo limite non esiste, allora chiaramente il primo limite non esisterà se riesco a trovare una strada per cui la somma a denominatore tende più velocemente a zero rispetto al prodotto a numeratore, quindi mi viene spontaneo studiare la diseguaglianza $x^3y^3
Notiamo prima di tutto che su tale curva $y\to 0$ per $x\to 0$ quindi siamo certi di eseguire il limite nel punto giusto.
Sostituendo nella funzione otteniamo
$$
\frac{\frac{-x^6}{x^3+1}}{x^3-\frac{x^3}{x^3+1}}=-1
$$
Poiché sulle rette ad esempio il limite vale $0$ concludiamo che il limite non esiste.
Per il secondo limite puoi usare la stessa tecnica che ti ho appena mostrato per trovare la curva che dimostra la non esistenza del limite.
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