Limiti funzioni vettoriali

[emmeci1]

mi servirebbe un aiutino...dovrei dimostrare che se f continua su D=R^2 e $ lim_(x,y -> oo ^(2) ) $ =l , con l $ in $ R, è limitata. Intuitivamente ho capito come funziona, ma non riesco a dimostrarlo rigorosamente...

[j18eos]

Invocando il teorema di Weierstrass tale funzione (a codominio [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?) sarebbe limitata in ogni insieme compatto (ovvero chiuso e limitato) di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Con quel limite (mal scritto) che ipotesi fai?

[emmeci1]

Si, il codominio della funzione è $ RR $ . Il teorema di Weierstrass mi viene in aiuto quando ho una funzione definita in un compatto chiuso e limitato, no? Nel mio caso le funzione è definita su D $ sub RR ^(2) $. Come posso utilizzarlo? Penso di dover usare come ipotesi anche il fatto che è continua.

[dissonance]

Prova a dimostrare prima questa versione unidimensionale: sia $f:RR \to RR$ continua e tale che $lim_{x\to -infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}f(x)=l\in RR$ (è importante che il limite sia finito). Allora $f$ è limitata.

Qui ti puoi aiutare con un grafico ed è tutto più semplice: la stessa tecnica la applicherai poi al problema bidimensionale.