Limiti funzioni in $n$ variabili
Ciao, amici!
Trovo la definizione del limite di una funzione in due variabili reali, dati i punti $P=(x,y) \in "dom"(f)$ e $P_0=(x_0,y_0)$, come
$\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)}=L <=> (AA\epsilon>0 " "EE\delta: 0<|P-P_0|<\delta => |f(x,y)-L|<\epsilon)$.
Mi sembrerebbe naturale (mi sono ripassato accuratamente l'equivalenza tra le due definizioni analoghe per il caso di una variabile indipendente) definire il limite anche come
$\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)}=L$ se e solo se, per ogni successione ${x_n}_n ->x_0$ e ogni successione ${y_n}_n -> y_0$ (e avanti così anche per $k>2$ variabili), si ha che $f(x_n,y_n)->L$ (o $f(x_1,...,x_k)->L$ anche per più di due variabili).
Vi sembra giusto? Non trovo nulla a riguardo su libri o in rete, ma non mi sembra sbagliata questa definizione...
Se è giusto, estendere le proprietà dei limiti di successioni ai limiti di funzioni in $k$ variabili (o, detto altrimenti, in $n$ variabili) è del tutto immediato.
$+oo$ grazie a tutti!!!
Trovo la definizione del limite di una funzione in due variabili reali, dati i punti $P=(x,y) \in "dom"(f)$ e $P_0=(x_0,y_0)$, come
$\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)}=L <=> (AA\epsilon>0 " "EE\delta: 0<|P-P_0|<\delta => |f(x,y)-L|<\epsilon)$.
Mi sembrerebbe naturale (mi sono ripassato accuratamente l'equivalenza tra le due definizioni analoghe per il caso di una variabile indipendente) definire il limite anche come
$\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)}=L$ se e solo se, per ogni successione ${x_n}_n ->x_0$ e ogni successione ${y_n}_n -> y_0$ (e avanti così anche per $k>2$ variabili), si ha che $f(x_n,y_n)->L$ (o $f(x_1,...,x_k)->L$ anche per più di due variabili).
Vi sembra giusto? Non trovo nulla a riguardo su libri o in rete, ma non mi sembra sbagliata questa definizione...
Se è giusto, estendere le proprietà dei limiti di successioni ai limiti di funzioni in $k$ variabili (o, detto altrimenti, in $n$ variabili) è del tutto immediato.
$+oo$ grazie a tutti!!!
Risposte
Per essere giusto mi sembra giusto, il problema è che hai delle successione a due variabili, per cui ti ritrovi gli stessi "problemi" della prima definizione. Ovvero a seconda del "cammino" che scegli per tendere a $P_0$ il limite può cambiare.
Pure secondo me è giusto. Ma infatti di solito si fa un discorso astratto: si introduce il concetto di "spazio metrico", di cui \(\mathbb{R}\) ed \(\mathbb{R}^n\) sono casi particolari, e si parla di limiti in questo ambito. Negli spazi metrici la definizione di limite "per successioni" è equivalente alla definizione di limite topologica e in analisi la prima si usa parecchio.
@DavideGenova
Ma certo che è giusto, paisà.
Per come l'hai presentato, ci vedo due "step".
- la caratterizzazione dei limiti mediante successioni (che vale in $RR^n$ e più in generale in uno spazio metrico, come detto da dissonance)
- in $RR^n$ una successione $x^k$ converge ad $x^star$ se e solo se tutte le coordinate convergono ($x^k_i$ converge a $x^star_i$)
La tua considerazione, ovvero che i limiti in $RR^n$ si "banalizzano" seguendo questa strada è, in larga parte, vera. Non tutte le dificoltà spariscono, ma certo parecchie cose si ottengono rapidamente. Ho sempre avuto l'impressione che questa strada fosse troppo poco sfruttata, didatticamente.
Ma certo che è giusto, paisà.
Per come l'hai presentato, ci vedo due "step".
- la caratterizzazione dei limiti mediante successioni (che vale in $RR^n$ e più in generale in uno spazio metrico, come detto da dissonance)
- in $RR^n$ una successione $x^k$ converge ad $x^star$ se e solo se tutte le coordinate convergono ($x^k_i$ converge a $x^star_i$)
La tua considerazione, ovvero che i limiti in $RR^n$ si "banalizzano" seguendo questa strada è, in larga parte, vera. Non tutte le dificoltà spariscono, ma certo parecchie cose si ottengono rapidamente. Ho sempre avuto l'impressione che questa strada fosse troppo poco sfruttata, didatticamente.
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