Limiti funzioni con più variabili

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29 mar 2013, 22:24

Ho questa funzione fatta a lezione:
$lim_{x,y->0,0} (x^4+y^4)/(x^2+y^2)$
La prof ha così scomposto la funzione:
$(x^4+y^4)/(x^2+y^2) = x^4/(x^2+y^2) + y^4/(x^2+y^2) = x^2*x^2/(x^2+y^x) + y^2*y^2/(x^2+y^2)$
studiando l'ultima parte, ha detto che x^2 e y^2 sono chiaramente infinitesime, mentre le frazioni sono limitate.
Come lo ha stabilito?
Io mi sono fatto una possibile spiegazione e vorrei sapere se è giusta o se si fa diversamente.
Studiando la prima frazione, quando mando y -> 0, mi resta x^2/x^2 = 1;
quando mando x -> 0 mi annulla chiaramente il numeratore e quindi resta =0. Il che significa che la frazione è compresa tra (0,1]. Viceversa per la seconda frazione.

E' possibile che sia così?

Risposte

Maci86

29 mar 2013, 21:45

Puoi dimostrare facilmente questo:
$0≤x^2/(x^2+y^2)≤1$
E questo vale anche per sua sorella con la y. Altro modo per vederlo è dividere tutto per $x^2$:
$1/(1+(y/x)^2)$

chisigma

29 mar 2013, 21:50

E' chiaro che e' $0 \le \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} \le 1$ e $0 \le \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \le 1$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

Shika93

30 mar 2013, 11:06

Ok non ho capito. Perchè è "chiaro"? Per me non lo è molto...xD
Come lo avete dimostrato? (A parte a occhio)

Cuspide83

30 mar 2013, 11:27

$\forall x,y\in R$
\[x^{2}\leq x^{2}+y^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq1\]
D'altra parte

\[0\leq x^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}0\leq\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]