Limiti funzioni a più variabili
Ciao, qualcuno mi può dare una mano a trovare i limiti di queste due funzioni?
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-e^(xy^2)) \sqrt(x^4+y^4)$
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-cos(xy)) \log(1+x^2+y^2)$
Grazie mille a tutti!
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-e^(xy^2)) \sqrt(x^4+y^4)$
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-cos(xy)) \log(1+x^2+y^2)$
Grazie mille a tutti!
Risposte
Puoi per esempio provare a tendere a zero lungo la retta di equazione $y=kx$:
Il limte esiste se per qualunque valore di $k$ il suo valore non cambia, ossia se è indipendente dalla direzione scelta.
$\lim_{(x,y)\to0}{1-e^{xy^2}}/{\sqrt{x^4+y^4}}=\lim_{x\to0}{1-e^{k^2x^3}}/\sqrt{(1+k^4)x^4}\approx\lim_{x\to0}-k^2/\sqrt{1+k^4}x^3/x=\lim_{x\to0}-k^2/\sqrt{1+k^4}x^2=0$
dato che quel prodotto sarà sempre tendente a zero, dato che il parametro in k non tende mai all'infinto.
$\lim_{(x,y)\to0}{1-\cos(xy)}/{\log(1+x^2+y^2)}=\lim_{x\to0}{1-\cos(kx^2)}/{\log(1+(1+k^2)x^2)}\approx\lim_{x\to0}{k^2x^4/2}/((1+k^2)x^2)=\lim_{x\to0}x^2/2k^2/{1+k^2}=\lim_{x\to0}-x^2/2 1/{1+k^2}=0$
Per lo stesso motivo...
Il limte esiste se per qualunque valore di $k$ il suo valore non cambia, ossia se è indipendente dalla direzione scelta.
$\lim_{(x,y)\to0}{1-e^{xy^2}}/{\sqrt{x^4+y^4}}=\lim_{x\to0}{1-e^{k^2x^3}}/\sqrt{(1+k^4)x^4}\approx\lim_{x\to0}-k^2/\sqrt{1+k^4}x^3/x=\lim_{x\to0}-k^2/\sqrt{1+k^4}x^2=0$
dato che quel prodotto sarà sempre tendente a zero, dato che il parametro in k non tende mai all'infinto.
$\lim_{(x,y)\to0}{1-\cos(xy)}/{\log(1+x^2+y^2)}=\lim_{x\to0}{1-\cos(kx^2)}/{\log(1+(1+k^2)x^2)}\approx\lim_{x\to0}{k^2x^4/2}/((1+k^2)x^2)=\lim_{x\to0}x^2/2k^2/{1+k^2}=\lim_{x\to0}-x^2/2 1/{1+k^2}=0$
Per lo stesso motivo...
"cavallipurosangue":
Puoi per esempio provare a tendere a zero lungo la retta di equazione $y=kx$:
Il limte esiste se per qualunque valore di $k$ il suo valore non cambia, ossia se è indipendente dalla direzione scelta.
Non sono sicuro che questo porti a concludere che allora il limite esiste e vale 0.
Mi sembra che questo metodo ( retta variabile di equazione y = kx ) sia utile e decisivo per dimostarere che il limite non esiste, quando cioè dipende da k ad esempio.
Potrei, ipoteticamente trovare che muovendomi lungo una curva di equazione y = y(x) e facendo tendere a 0 sia x che y il limite sia diverso da 0 .
L'unico metodo sicuro per dire che un certo limite di una funzione di 2 variabili esiste , non è forse quello di passare in coordinate polari ? e poi....
Se non mi ricordo male a noi ce l'avevano insegnato così...
In effetti però credo che sia la stessa cosa, infatti in coordinate polari devi dimostrare che il limite è $x_0$ indipendentemente da $\theta$...
Hmmm già in effetti anche io l'ho visto così: per trovare il limite di una funzione si opera passando in polari e poi trovando opportune maggiorazioni. E il metodo delle rette invece è un buon primo passo per dimostrare che il limite NON esiste. Anche se spesso vanno usati anche altri tipi di curve......
Qualcuno che cmq ci riesce con le coord. polari? io nn trovo la maggiorazione corretta....
Qualcuno che cmq ci riesce con le coord. polari? io nn trovo la maggiorazione corretta....
Nel caso specifico ci sono pochi dubbi che il limite esista e valga 0.
Il mio dubbio è più generale : basta questa situazione favorevole ( lungo y = kx) per arrivare a dire che allora il limite esiste ?
Il mio dubbio è più generale : basta questa situazione favorevole ( lungo y = kx) per arrivare a dire che allora il limite esiste ?
Se il limite esiste ed è lo stesso indipendentemente dal valore assegnato a k direi di si, e poi quando tendo a zero, posso o no approssimare una qualsiasi funzione con una retta tangente...?
No. Non e' sufficente.
Basta pensare alla funzione f(x,y) = y^2/x
Lungo le rette y=kx il limite va a 0, ma lungo la curva y=sqrt(x) no!
Platone
Basta pensare alla funzione f(x,y) = y^2/x
Lungo le rette y=kx il limite va a 0, ma lungo la curva y=sqrt(x) no!
Platone
Sul mio libro trovo questo esempio:
$lim_(x,y->(0,0)) (\frac (x^3+y^3) (x^2+y^4))$
Lungo $y=mx$ tende a zero per $x->0$, infatti:
$f(x,mx)=x\frac (1+m^3) (1+m^4x^2)$
mentre se si usano curve del tipo $x=my^(3/2)$ viene che il limite dipende da $m$ e quindi non esiste...
$lim_(x,y->(0,0)) (\frac (x^3+y^3) (x^2+y^4))$
Lungo $y=mx$ tende a zero per $x->0$, infatti:
$f(x,mx)=x\frac (1+m^3) (1+m^4x^2)$
mentre se si usano curve del tipo $x=my^(3/2)$ viene che il limite dipende da $m$ e quindi non esiste...
Prodi 2. Giusto?
Platone
Platone
Il libro? No, è lo Squellati-Salsa (credo), eserciziario....
Beh, ma qualcuno riesce a farmi vedere come si procede per maggiorazioni passando in coordinate polari? Please..... ^_^
Beh, ma qualcuno riesce a farmi vedere come si procede per maggiorazioni passando in coordinate polari? Please..... ^_^
Forse mi ricordo male, ma a me sebra la stessa funzione di conroesempio che c'era sul Prodi.
Nel caso ricordassi bene c'e, da dire che questi autori non hanno molta fantasia!
Platone
Nel caso ricordassi bene c'e, da dire che questi autori non hanno molta fantasia!
Platone
Già già..... ^_^
$|1-e^(xy^2)|/sqrt(x^4+y^4)<=|1-e^(xy^2)|/sqrt(y^4)=|1-e^(xy^2)|/y^2=$
$=x*|1-e^(xy^2)|/(xy^2)$
$x->0$ per $(x,y)->(0,0)$
$|1-e^(xy^2)|/(xy^2)->+-1$ (limite notevole $(e^x-1)/x$) a seconda del segno di 1-e^(xy^2)
per cui il limite è zero.
$=x*|1-e^(xy^2)|/(xy^2)$
$x->0$ per $(x,y)->(0,0)$
$|1-e^(xy^2)|/(xy^2)->+-1$ (limite notevole $(e^x-1)/x$) a seconda del segno di 1-e^(xy^2)
per cui il limite è zero.
In casi come questi il metodo più sicuro è il passaggio alle coordinate polari...
$x=r*cos theta$, $y=r*sin theta$ (1)
Sostituendo nel primo limite risulta
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-e^(xy^2)) \sqrt(x^4+y^4)=$
$=lim_(r->0) (1-e^(r^3*cos theta*sin^2 theta))/(sqrt(r^4*(cos^4 theta+sin^4 theta))$ (2)
Allora per '$x$ piccolo' è $1-e^x= -x+...$ per cui il limite cercato è...
$lim_(r->0) (r^3)/(r^2) (cos theta*sin ^2 theta)/(sqrt(cos^4 theta +sin^4 theta))=0$ (3)
Vediamo ora il secondo limite...
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-cos(xy)) \log(1+x^2+y^2)=$
$=lim_(r->0) (1-cos (r^2*sin theta*cos theta))/(ln (1+r^2)$ (4)
Per '$x$ piccolo' è $ln (1+x)= x+...$ e $1-cos x= x^2/2+...$, per cui il limite cercato è...
$lim_(z->0) (r^4)/(r^2)* 1/2*sin theta*cos theta=0$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x=r*cos theta$, $y=r*sin theta$ (1)
Sostituendo nel primo limite risulta
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-e^(xy^2)) \sqrt(x^4+y^4)=$
$=lim_(r->0) (1-e^(r^3*cos theta*sin^2 theta))/(sqrt(r^4*(cos^4 theta+sin^4 theta))$ (2)
Allora per '$x$ piccolo' è $1-e^x= -x+...$ per cui il limite cercato è...
$lim_(r->0) (r^3)/(r^2) (cos theta*sin ^2 theta)/(sqrt(cos^4 theta +sin^4 theta))=0$ (3)
Vediamo ora il secondo limite...
$lim_((x,y)->(0,0))\frac (1-cos(xy)) \log(1+x^2+y^2)=$
$=lim_(r->0) (1-cos (r^2*sin theta*cos theta))/(ln (1+r^2)$ (4)
Per '$x$ piccolo' è $ln (1+x)= x+...$ e $1-cos x= x^2/2+...$, per cui il limite cercato è...
$lim_(z->0) (r^4)/(r^2)* 1/2*sin theta*cos theta=0$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Thanks A Lot! ^_^
Sempre io... ^_^
Invece questo: $lim_(x,y->(0,0))yx^(-2)arctan(x^2+y^2)$
se lo risolvo in polari mi da = 0 (o sbaglio?)
mentre se provo su curve del tipo $x=y^(3/2)$ mi dà 1.
Come me lo spiego sto fatto?? Il limite esiste, vero?
Invece questo: $lim_(x,y->(0,0))yx^(-2)arctan(x^2+y^2)$
se lo risolvo in polari mi da = 0 (o sbaglio?)
mentre se provo su curve del tipo $x=y^(3/2)$ mi dà 1.
Come me lo spiego sto fatto?? Il limite esiste, vero?
Se ho fatto bene i conti il limite diventa espresso in coordinate polari :
$ (rho*sin theta*atan(rho^2))/(rho^2*(cos theta)^2) $.
Per $rho rarr 0 $ posso approssimare $atan(rho)^2 $ con $ rho^2 $ e quindi
il limite diventa :
$rho*sin theta/(cos theta)^2 $ che vale 0 solo se $cos theta ne 0 $; mi sembra che il limite non esista .
$ (rho*sin theta*atan(rho^2))/(rho^2*(cos theta)^2) $.
Per $rho rarr 0 $ posso approssimare $atan(rho)^2 $ con $ rho^2 $ e quindi
il limite diventa :
$rho*sin theta/(cos theta)^2 $ che vale 0 solo se $cos theta ne 0 $; mi sembra che il limite non esista .
"Platone":
Forse mi ricordo male, ma a me sebra la stessa funzione di conroesempio che c'era sul Prodi.
Nel caso ricordassi bene c'e, da dire che questi autori non hanno molta fantasia!
Platone
ciao Platone.
Quanto dici a volte è vero, ma non è sempre detto che sia solo "poca fantasia".
Che sia essenzialità?
Spesso si ritrova lo stesso esempio perché è il più semplice.
Mi riferisco a: $\frac (x^3+y^3) (x^2+y^4)$.
L'esempio ha il pregio di usare una funzione definita mediante una espressione analitica. Per di più l'espressione analitica è semplice: una funzione razionale con numeratore e denominatore di grado "basso".
Detto questo, sull'esempio specifico vorrei osservare che si paga un prezzo a voler usare una funzione definita mediante una espressione analitica: il limite non è zero su tutte le rette, perché "sull'asse dell $y$" il limite viene infinito. Quindi non è l'esempio più adatto per mostrare che il limite può valere $\lambda$ su tutte le rette senza per questo valere $\lambda$.
A me piace questo:
$f(x,y) = 1$ per $0 < y < x^2$,
$f(x,y)=0$ altrimenti.
Molto "essenziale", e direi che non è facile trovare qualcosa di più semplice. Lo svantaggio (più che altro potrebbe essere uno svantaggio di carattere didattico) è che funzione è definita "a pezzi".
Riciao
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo