Limiti funzioni a più variabili
Salve,
vorrei chiedere se è lecito usare i simboli di Landau per risolvere limiti di funzioni a più variabili.
Se, ad esempio, avessi il seguente limite:
$ lim_((x,y,z) -> (0,0,0)) (xyz)/(x^2+y^2+2z^2) $
Potrei risolverlo per casi cosiderando $ x,y,z $ dello stesso ordine di grandezza, $ x=o(y), z=o(y) $ , $ x=o(y), y=o(z) $ et cetera e dire che il limite esiste se e solo se il limite è uguale in tutti i casi?
Purtroppo non sempre riesco a farli con le maggiorazioni o in coordinate polari (soprattutto quando i limiti dipendono da un parametro).
Grazie mille
vorrei chiedere se è lecito usare i simboli di Landau per risolvere limiti di funzioni a più variabili.
Se, ad esempio, avessi il seguente limite:
$ lim_((x,y,z) -> (0,0,0)) (xyz)/(x^2+y^2+2z^2) $
Potrei risolverlo per casi cosiderando $ x,y,z $ dello stesso ordine di grandezza, $ x=o(y), z=o(y) $ , $ x=o(y), y=o(z) $ et cetera e dire che il limite esiste se e solo se il limite è uguale in tutti i casi?
Purtroppo non sempre riesco a farli con le maggiorazioni o in coordinate polari (soprattutto quando i limiti dipendono da un parametro).
Grazie mille
Risposte
In linea di principio non dovrebbe esserci nessun problema, dato che la convergenza di una funzione sufficientemente regolare alla sua serie di Taylor avviene nello stesso modo (e nello stesso senso) come convergenza ad un elemento di \(\mathbb R[X,Y,Z]\). Diventa pero' piuttosto difficile scrivere che cosa sia lo sviluppo in termini maneggevoli per il conto diretto: lo sviluppo di $(X,Y,Z)\mapsto f(X,Y,Z)$ comincia con
\[
f(X,Y,Z) \asymp_{p} f(p) + J_f(p)(P-p) + \langle P-p, H_f(p)(P-p)\rangle + \dots
\] in un punto $p=(x,y,z)$ rispetto a coordinate $P=(X,Y,Z)$ ($J$ e' lo jacobiano di $f$, $H$ il suo hessiano), ma continua con dei tensori di rango piu' alto che sono, in generale, difficili da calcolare.
\[
f(X,Y,Z) \asymp_{p} f(p) + J_f(p)(P-p) + \langle P-p, H_f(p)(P-p)\rangle + \dots
\] in un punto $p=(x,y,z)$ rispetto a coordinate $P=(X,Y,Z)$ ($J$ e' lo jacobiano di $f$, $H$ il suo hessiano), ma continua con dei tensori di rango piu' alto che sono, in generale, difficili da calcolare.
Quello che chiedi dopo non ha molto senso, non capisco come faccia $x$ ad essere $o(y)$, $z$ ad essere $o(y)$, ecc. Nota che la funzione dell'esempio che scrivi e' piuttosto semplice da approcciare con metodi standard 
Quello che intendo è studiare l'esistenza del limite dividendo in casi in cui x, y, z siano infinitesimi di ordine uguale o diverso (per il fatto che tendono a zero).
Ad esempio, nel limite che ho scritto, nel caso in cui x=o(y), z=o(y), lo svolgerei così:
$ (xyz)/(x^2+y^2+2z^2) ~ (xyz)/y^2=(xz)/y=z*o(1) to 0 $ e similmente negli altri casi.
Come maggiorare il limite, altrimenti?
Grazie davvero!
Ad esempio, nel limite che ho scritto, nel caso in cui x=o(y), z=o(y), lo svolgerei così:
$ (xyz)/(x^2+y^2+2z^2) ~ (xyz)/y^2=(xz)/y=z*o(1) to 0 $ e similmente negli altri casi.
Come maggiorare il limite, altrimenti?
Grazie davvero!
Non va bene. È tutto il vettore \((x, y, z)\) che tende a zero, in nessun modo puoi ridurti a studiare i limiti facendo tendere le variabili a zero una alla volta. Per convincertene, ragiona sull'esempio più semplice
\[
f(x, y)=\frac{xy}{x^2+y^2},\quad \text{per }(x, y)\to (0,0)\]
Usando il tuo metodo o qualsiasi variante del tuo metodo, concluderesti che il limite è \(0\). Ma prova a studiare la funzione lungo la curva \(x=t, y=t\).
\[
f(x, y)=\frac{xy}{x^2+y^2},\quad \text{per }(x, y)\to (0,0)\]
Usando il tuo metodo o qualsiasi variante del tuo metodo, concluderesti che il limite è \(0\). Ma prova a studiare la funzione lungo la curva \(x=t, y=t\).
Quella restrizione la considererei nel caso in cui x e y siano infinitesimi dello stesso ordine, però....
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