Limiti funzioni 2 variabili
Salve a tutti mi trovo in difficoltà con il capire la definizione di $ lim_(x,y -> infty) f(x,y)=L $ .
graficamente ho presente come può presentarsi un grafico con tale limite ma non riesco a dare una definizione, oltre ad avere la definizione voglio capire come poterci arrivare, sulle funzioni a una variabile era facile poiché era sul piano bidimensionale ma con due variabili come posso ragionare per arrivare alla definizione?
non mi interessa tutte le definizioni soltanto teoriche ma ho bisogno anche di quella grafica, ad esempio su quelle ad una variabile sapevo che il valore epsilon riguardava l' intorno del punto L ecc...
grazie in anticipo a tutti e se riusciste ad allegarci anche un disegno anche fatto in modo grezzo per aiutare a capire sarebbe il massimo
graficamente ho presente come può presentarsi un grafico con tale limite ma non riesco a dare una definizione, oltre ad avere la definizione voglio capire come poterci arrivare, sulle funzioni a una variabile era facile poiché era sul piano bidimensionale ma con due variabili come posso ragionare per arrivare alla definizione?
non mi interessa tutte le definizioni soltanto teoriche ma ho bisogno anche di quella grafica, ad esempio su quelle ad una variabile sapevo che il valore epsilon riguardava l' intorno del punto L ecc...
grazie in anticipo a tutti e se riusciste ad allegarci anche un disegno anche fatto in modo grezzo per aiutare a capire sarebbe il massimo
Risposte
Una definizione analoga a quella relativa alle funzioni di una sola variabile è la seguente:
Solo per fare un esempio:
Dovresti osservare che:
Difficile comprendere la tua richiesta.
$AA \epsilon in RR^+ EE R_\epsilon in RR^+ :$
$AA (x,y) in RR^2 : sqrt(x^2+y^2) gt R_\epsilon rarr |f(x,y)-l| lt \epsilon$
Solo per fare un esempio:
$f(x,y)=e^-(x^2+y^2)$
$[e^-(x^2+y^2) lt \epsilon] rarr [sqrt(x^2+y^2) gt sqrt(log(1/\epsilon))] rarr [R_\epsilon=sqrt(log(1/\epsilon))]$
Dovresti osservare che:
$lim_(\epsilon->0^+)R_\epsilon=lim_(\epsilon->0^+)sqrt(log(1/\epsilon))=+oo$
"Stizzens":
Per esempio:
... graficamente ho presente come può presentarsi un grafico con tale limite ... se riusciste ad allegarci anche un disegno per aiutare a capire ...
Difficile comprendere la tua richiesta.
"anonymous_0b37e9":
Una definizione analoga a quella relativa alle funzioni di una sola variabile è la seguente:
$AA \epsilon in RR^+ EE R_\epsilon in RR^+ :$
$AA (x,y) in RR^2 : sqrt(x^2+y^2) gt R_\epsilon rarr |f(x,y)-l| lt \epsilon$
Solo per fare un esempio:
$f(x,y)=e^-(x^2+y^2)$
$[e^-(x^2+y^2) lt \epsilon] rarr [sqrt(x^2+y^2) gt sqrt(log(1/\epsilon))] rarr [R_\epsilon=sqrt(log(1/\epsilon))]$
Dovresti osservare che:
$lim_(\epsilon->0^+)R_\epsilon=lim_(\epsilon->0^+)sqrt(log(1/\epsilon))=+oo$
[quote="Stizzens"]
Per esempio:
... graficamente ho presente come può presentarsi un grafico con tale limite ... se riusciste ad allegarci anche un disegno per aiutare a capire ...
Difficile comprendere la tua richiesta.[/quote]
ma questo non vale per il limite tendente ad infinito uguale a un numero finito.
quello che voglio è che qualcuno ce abbia presente tale limite che me lo spieghi a parole sue in modo più semplice possibile
"Stizzens":
... ma questo non vale per il limite tendente ad infinito uguale a un numero finito ...
Ti informo che $0$ è un numero finito.
"Stizzens":
... quello che voglio è che qualcuno che abbia presente tale limite ...
Veramente, anche il sottoscritto ha presente l'argomento della discussione. Ad ogni modo, lascio ad altri il piacere di soddisfare le tue volontà.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Stizzens"]
... ma questo non vale per il limite tendente ad infinito uguale a un numero finito ...
Ti informo che $0$ è un numero finito.
"Stizzens":
... quello che voglio è che qualcuno che abbia presente tale limite ...
Veramente, anche il sottoscritto ha presente l'argomento della discussione. Ad ogni modo, lascio ad altri il piacere di soddisfare le tue volontà.[/quote]
e ma tu hai scritto il limite che tende a 0 e riporta infinito, io voglio sapere nel caso il limite tende ad infinito e riporta 0 (numero finito)
Non vorrei che ti stessi riferendo al secondo limite:
piuttosto che al primo:
vero oggetto dell'esempio proposto. In questo caso, non credo che tu abbia le conoscenze necessarie per sostenere un minimo di discussione.
$lim_(\epsilon->0^+)R_\epsilon=lim_(\epsilon->0^+)sqrt(log(1/\epsilon))=+oo$
piuttosto che al primo:
$lim_((x,y)->oo)e^-(x^2+y^2)=0$
vero oggetto dell'esempio proposto. In questo caso, non credo che tu abbia le conoscenze necessarie per sostenere un minimo di discussione.
data $f:RR^2->RR$, la prendiamo su tutto $RR^2$ per comodità
Diciamo che il problema può essere 'ma a $+infty$ dove?'
Per valutare la divergenza di una funzione da qualche parte(porzione di domino illimitato) potresti considerare una retta del tipo $r(t)=P+tvec(v)$ che sarebbe la retta, definita su un intervallo $JsubseteqRR$, passante per $P:=(x_0,y_0)$ e avente direzione $vec(v)$ e prendere,
questa funzione ti calcola le quote della funzione lungo questa retta. Chiaramente per la funzione $r:J->RR^2$ si può considerare che,
Al variare ti $t$ quella retta descrive punti del tipo $(x(t),y(t))$ che chiaramente, se $v_1,v_2>0$ si ottiene che $x(t),y(t)->+infty$ quindi ottieni quello che chiedi, ma con qualcosa in più, ovvero che le coordinate $x,y$ tendono si entrambe a $+infty$ ma ci tendono in modi diversi.
Diciamo che il problema può essere 'ma a $+infty$ dove?'
Per valutare la divergenza di una funzione da qualche parte(porzione di domino illimitato) potresti considerare una retta del tipo $r(t)=P+tvec(v)$ che sarebbe la retta, definita su un intervallo $JsubseteqRR$, passante per $P:=(x_0,y_0)$ e avente direzione $vec(v)$ e prendere,
$fcirc r: J->RR^2->RR, f(r(t))=f(P+tvec(v))$
questa funzione ti calcola le quote della funzione lungo questa retta. Chiaramente per la funzione $r:J->RR^2$ si può considerare che,
$lim_(t->+infty)r(t)=lim_(t->+infty)(x_0+tv_1,y_0+tv_2)$
Al variare ti $t$ quella retta descrive punti del tipo $(x(t),y(t))$ che chiaramente, se $v_1,v_2>0$ si ottiene che $x(t),y(t)->+infty$ quindi ottieni quello che chiedi, ma con qualcosa in più, ovvero che le coordinate $x,y$ tendono si entrambe a $+infty$ ma ci tendono in modi diversi.
"anto_zoolander":
data $f:RR^2->RR$, la prendiamo su tutto $RR^2$ per comodità
Diciamo che il problema può essere 'ma a $+infty$ dove?'
Per valutare la divergenza di una funzione da qualche parte(porzione di domino illimitato) potresti considerare una retta del tipo $r(t)=P+tvec(v)$ che sarebbe la retta, definita su un intervallo $JsubseteqRR$, passante per $P:=(x_0,y_0)$ e avente direzione $vec(v)$ e prendere,
$fcirc r: J->RR^2->RR, f(r(t))=f(P+tvec(v))$
questa funzione ti calcola le quote della funzione lungo questa retta. Chiaramente per la funzione $r:J->RR^2$ si può considerare che,
$lim_(t->+infty)r(t)=lim_(t->+infty)(x_0+tv_1,y_0+tv_2)$
Al variare ti $t$ quella retta descrive punti del tipo $(x(t),y(t))$ che chiaramente, se $v_1,v_2>0$ si ottiene che $x(t),y(t)->+infty$ quindi ottieni quello che chiedi, ma con qualcosa in più, ovvero che le coordinate $x,y$ tendono si entrambe a $+infty$ ma ci tendono in modi diversi.
ora mi è più chiaro grazie mille anto_zoolander
@Stizzens: Non capisco cosa ci trovi di male nelle risposte di Sergeant Elias. A mio avviso, sono risposte precise e chiare, e vengono da una persona che ha manifestamente una buona padronanza della matematica. Io presterei maggiore attenzione ai suoi consigli, fossi in te.
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