Limiti - Errore di segno nel portare fuori radice $x^2$
ciao ragazzi ho un dubbio sulla risoluzione di questo limite...è un vecchio esercizio che avevo fatto e capito... ma adesso mi sono scordato perchè sbagliavo! Se potete cortesemente aiutarmi ve ne sarei grato! Si tratta di un errore di segno, il risultato a me viene $1/2 $ mentre quello esatto è $-1/2$
Ecco come lo faccio io...
$\lim_(x to - infty) \frac{x-1}{sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2+1)} = $$\lim_(x to - infty) \frac{x-1}{sqrt(x^2 (1+1/x) ) + sqrt( x^2 (1+1/x^2) )}$ a questo punto posso portare fuori radice $x^2$ e ottengo
$\lim_(x to -infty) \frac{x-1}{x sqrt(1+1/x)+x sqrt(1+1/x^2)}$ e qui commetto l'errore perchè sul vecchio esercizio invece mi ritrovo:
$\lim_(x to -infty) \frac{x-1}{|x| sqrt(1+1/x)+|x| sqrt(1+1/x^2)} = \lim_(x to -infty) \frac{x-1}{-x sqrt(1+1/x) - x sqrt(1+1/x^2)}$
Mi aiutate perfavre a capire perchè quando porto fuori dalla radice la x, la porto con il valore assoluto e poi ci assegno il valore negativo?
Ecco come lo faccio io...
$\lim_(x to - infty) \frac{x-1}{sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2+1)} = $$\lim_(x to - infty) \frac{x-1}{sqrt(x^2 (1+1/x) ) + sqrt( x^2 (1+1/x^2) )}$ a questo punto posso portare fuori radice $x^2$ e ottengo
$\lim_(x to -infty) \frac{x-1}{x sqrt(1+1/x)+x sqrt(1+1/x^2)}$ e qui commetto l'errore perchè sul vecchio esercizio invece mi ritrovo:
$\lim_(x to -infty) \frac{x-1}{|x| sqrt(1+1/x)+|x| sqrt(1+1/x^2)} = \lim_(x to -infty) \frac{x-1}{-x sqrt(1+1/x) - x sqrt(1+1/x^2)}$
Mi aiutate perfavre a capire perchè quando porto fuori dalla radice la x, la porto con il valore assoluto e poi ci assegno il valore negativo?
Risposte
Fai la prova con qualche numero vero, prima che coi simboli astratti tipo \(x\). Prendi, che so, \(-100\). Quanto fa
\[\sqrt{(-100)^2}\ ?\]
Secondo la tua procedura farebbe \(-100\). E' giusto?
\[\sqrt{(-100)^2}\ ?\]
Secondo la tua procedura farebbe \(-100\). E' giusto?
si...
Chiariamo subito una cosa: $AA x in RR$ si ha che $sqrt(x^2)= |x|$
Questo significa che se $x<0$ (come nel nostro caso, visto che abbiamo $x-> -oo$) abbiamo $sqrt(x^2) = -x$
Questo significa che se $x<0$ (come nel nostro caso, visto che abbiamo $x-> -oo$) abbiamo $sqrt(x^2) = -x$
ok... avevo infatti il sospetto che centrasse $- infty$ ma non ero certo! Infatti sono incappato in un errore a furia di fare gli esercizi a macchinetta...
Grazie ragazzi!
Grazie ragazzi!
"ansioso":
si...
Si. Quindi tu dici
\[\sqrt{(-100)^2}=-100\]
cioè avresti trovato un numero con radice quadrata negativa. Stai attento!!! Un errore così ad un esame e sono dolori. La radice quadrata è sempre positiva.
vero disso, quindi va fatto il cambio di segno... vedendo la $sqrt(x^2)$ avevo dato per scontato il valore positivo dato dal quadrato, non considerando che il risultato della radice è sempre un numero non negativo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo