Limiti, epsilon, delta
Ciao a tutti,
voglio far vedere attraverso la definizione \( \epsilon \)-\( \delta \) di limite che
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \sin x = 0 \]
Quello che non ho capito è: cosa devo fare? Devo trovare un \( \delta > 0 \) tale che per ogni \( x \) nell'intorno di \( 0 \) di raggio \( \delta \) trovato risulti \( \left \vert \sin x \right \vert < \epsilon \)?
Ma se allora io devo trovare un \( \delta \), allora perché \( \delta \) dipende da \( \epsilon \), che invece varia?
Se ho capito bene, dovrei avere che per ogni \( \epsilon > 0 \), nell'intorno di raggio \( \delta \) trovato risulta \( \left \vert \sin x \right \vert < \epsilon \), ma che senso ha che \( \delta = \delta (\epsilon) \)?
Sono confuso.
voglio far vedere attraverso la definizione \( \epsilon \)-\( \delta \) di limite che
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \sin x = 0 \]
Quello che non ho capito è: cosa devo fare? Devo trovare un \( \delta > 0 \) tale che per ogni \( x \) nell'intorno di \( 0 \) di raggio \( \delta \) trovato risulti \( \left \vert \sin x \right \vert < \epsilon \)?
Ma se allora io devo trovare un \( \delta \), allora perché \( \delta \) dipende da \( \epsilon \), che invece varia?
Se ho capito bene, dovrei avere che per ogni \( \epsilon > 0 \), nell'intorno di raggio \( \delta \) trovato risulta \( \left \vert \sin x \right \vert < \epsilon \), ma che senso ha che \( \delta = \delta (\epsilon) \)?
Sono confuso.
Risposte
"Riccardo Desimini":
[...] cosa devo fare? Devo trovare un \( \delta > 0 \) tale che per ogni \( x \) nell'intorno di \( 0 \) di raggio \( \delta \) trovato risulti \( \left \vert \sin x \right \vert < \epsilon \)?
No. Scelto un intorno $U$ di $0$ devi trovare (in realtà non serve trovarlo, basta mostrare che esiste) un intorno $V$ di $0$ tale che per ogni $x$ in questo intorno bucato (cioè $x \in V \setminus \{0\}$), si abbia $f(x) \in U$.
Scarica questa definizione sul raggio degli intorni (che si possono assumere circolari: questa cosa discende da motivi topologici, legati alla struttura degli intorni della topologia euclidea su $RR$, ma possiamo sorvolare). Scegli $\varepsilon>0$ (raggio di $U$); allora devi trovare $delta>0$ (raggio di V) tale che se $0<|x-0|<\delta$ ($x$ sta nell'intorno bucato) allora $| f(x) - 0 | < \varepsilon$ ($f(x) \in U$). [La definizione è volutamente "incompleta" avrei dovuto precisare che il punto deve stare anche nel dominio, ma siccome l'esempio che hai citato non ha problemi del genere sorvolo anche qui un attimo per non crearti confusione]
Ora tu mi chiedi: ma $\delta$ dipende da $\varepsilon$? Eh be', sì, in generale sì e a dirtelo è l'ordine dei quantificatori. La frase è da leggersi così: "Fissato $\varepsilon$ trovi $\delta$ tale che" e ciò vuol dire che il $delta$ può dipendere da $epsilon$.
Un buon esempio per capire è questo (garantito che ti rimane, soprattutto ai maschi piace parecchio, chissà poi perché
): dire che per ogni ragazzo $x$ del tuo corso esiste una ragazza $y$ tale che $y$ sta con $x$ è una cosa; dire che esiste una ragazza $y$ tale che per ogni ragazzo $x$ si ha $y$ sta con $x$ è ben altra cosa (e fa dubitare l'autore di questo esempio dei costumi e della serietà di codesta $y$ 
). Ora capisci perché $\delta$ (=la tipa!) può dipendere da $\epsilon$ (il tipo)? 
E' un po' più chiaro?
"Paolo90":
Un buon esempio per capire è questo (garantito che ti rimane, soprattutto ai maschi piace parecchio, chissà poi perché
Diciamo che hai smosso qualcosa con le tue spiegazioni.
Ciononostante non riesco a capire fino in fondo perché questa catena di disuguaglianze mi porti a dire che il limite c'è ed è proprio quello:
\[ \left \vert \sin x \right \vert < \left \vert x \right \vert < \delta = \epsilon \]
Cioè io scelgo \( \delta = \epsilon \) e osservo che vale quanto scritto sopra.
Mi aiuti a capire i passaggi logici che ci stanno dietro?
Ciononostante non riesco a capire fino in fondo perché questa catena di disuguaglianze mi porti a dire che il limite c'è ed è proprio quello:
\[ \left \vert \sin x \right \vert < \left \vert x \right \vert < \delta = \epsilon \]
Cioè io scelgo \( \delta = \epsilon \) e osservo che vale quanto scritto sopra.
Mi aiuti a capire i passaggi logici che ci stanno dietro?
Non sono un amante degli esempi numerici, ma forse è il caso. Riccardo, fissa $\varepsilon=1/10>0$ o qualunque altro positivo. Mi chiedi: riesci a trovarmi un numero positivo tale che se "sto sotto (in valore assoluto)" a questo numero allora il seno sta sotto (in valore assoluto) a $\frac{1}{10}$?
Prova a fare un disegno: disegna il seno e le rette \( y=\pm \frac{1}{10}\). Riesci a trovare un intornino di zero - sull'asse delle $x$ - tale che se ti muovi lì dentro allora il seno resta "pizzicato" tra le rette che hai disegnato?
Nota che non importa che sia "massimale" questo intorno, basta che ce ne sia uno. La risposta più semplice è: prendi l'intervallo centrato in 0 e di raggio $\delta =\epsilon = 1/10$. Vedrai che va bene.
Ora sei d'accordo che se cambiamo $\epsilon$ possiamo rifare la stessa identica cosa?
Prova a fare un disegno: disegna il seno e le rette \( y=\pm \frac{1}{10}\). Riesci a trovare un intornino di zero - sull'asse delle $x$ - tale che se ti muovi lì dentro allora il seno resta "pizzicato" tra le rette che hai disegnato?
Nota che non importa che sia "massimale" questo intorno, basta che ce ne sia uno. La risposta più semplice è: prendi l'intervallo centrato in 0 e di raggio $\delta =\epsilon = 1/10$. Vedrai che va bene.
Ora sei d'accordo che se cambiamo $\epsilon$ possiamo rifare la stessa identica cosa?
Mi sa che ci devo pensare ancora un po', Paolo.
Comunque grazie, sei sempre molto disponibile.
Comunque grazie, sei sempre molto disponibile.
Prenditi tutto il tempo di cui necessiti; è importante che ti sia chiaro, è un concetto davvero fondamentale. Prova a farti altri esempi, a leggere su libri e pensa anche al caso delle successioni.
Comunque, figurati è sempre un piacere.
Comunque, figurati è sempre un piacere.
@ Riccardo: Capisco la tua per plessità per quella maggiorazione... Insomma, ti chiedi: perché incasinarmi la vita con la maggiorazione, quando la disequazione \(|\sin x|<\varepsilon\), ossia il sistema di disequazioni \(-\varepsilon <\sin x<\varepsilon\), è risolubile elementarmente?
Effettivamente, non ce n'è motivo, nel caso in esame.
Infatti, se \(\varepsilon >1\), la disuguaglianza \(|\sin x|<\varepsilon\) è soddisfatta da tutti gli \(x\in X= \mathbb{R}\); mentre, se \(\varepsilon <1\), risolvendo il sistema \(-\varepsilon <\sin x<\varepsilon\) trovi:
\[
-\arcsin \varepsilon +k\pi
ed in \(X\) è contenuto un intorno simmetrico di \(0\), ossia l'intervallo \(U:=]-\arcsin \varepsilon , \arcsin \varepsilon[\) che ha semiampiezza \(\arcsin \varepsilon\).
Da ciò segue che, in corrispondenza di ogni fissato \(\varepsilon >0\), la definizione di limite la verifico senz'altro quando scelgo:
\[
\begin{split}
\delta =\delta(\varepsilon)&=\begin{cases}\arcsin \varepsilon &\text{, se } 0<\varepsilon \leq 1\\
\frac{\pi}{2} &\text{, se } \varepsilon \geq 1\end{cases}\\
&= \min \left\{\arcsin \varepsilon , \frac{\pi}{2}\right\}\\
&= \arcsin \min \{\varepsilon ,1\}\; .
\end{split}
\]
Infatti, se \(\varepsilon >1\), allora ogni \(x\) per cui vale \(0<|x|<\delta\) sta pure in \(X=\mathbb{R}\), dunque è certamente \(|\sin x|<\varepsilon\); d'altro canto, se \(0<\varepsilon \leq 1\), un \(x\) che soddisfa \(0<|x|<\delta\) appartiene a \(U\setminus \{0\}\), perciò \(x\in X\setminus \{0\}\) e dunque \(|\sin x|<\varepsilon\) (visto che \(X\) era l'insieme di tutte le soluzioni del problema \(|\sin x|<\varepsilon\)).
Quindi, lasciando di nuovo \(\varepsilon\) libero di variare, hai appena dimostrato che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta=\arcsin \min \{\varepsilon ,1\}>0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\delta,\ |\sin x|<\varepsilon
\]
frase che si conviene di esprimere sinteticamente scrivendo \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x =0\).
Tuttavia quello del seno è un caso fortunato, nel quale sai fare i conti "a mano" e riesci a determinare subito chi è il \(\delta (\varepsilon)\) buono per dimostrare valida la definizione di limite... Rimane aperto, in generale, il problema di come fare la stessa cosa quando non i conti "a mano" non si possono fare.
In questo caso, però, la funzione seno ti viene di nuovo in soccorso e ti fornisce una indicazione su qualche possibile strategia da adottare. Da adesso in poi, fingi di non saper risolvere disequazioni trigonometriche.
In qualche modo (facendo prove numeriche, oppure perché te l'ha detto una persona di cui ti fidi) ti sei convinto che \(\lim_{x\to 0} \sin x=0\) e lo vuoi dimostrare, cioé vuoi dimostrare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \sigma >0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon \; ;
\]
ciò significa la seguente cosa: ritenendo \(\varepsilon >0\) fissato, devi chiederti se è possibile determinare \(\sigma>0\) in modo che \(0<|x|<\sigma\ \Rightarrow\ |\sin x|<\varepsilon\). In altre parole, tu vuoi che \(|\sin x|<\varepsilon\) per alcuni precisi valori di \(|x|\) e vuoi determinare un upper bound \(\sigma\) per tali valori, upper bound che può essere anche "piccolo" (non ti importa, basta che non è zero).
Per fare una cosa del genere devi necesariamente chiederti se \(|\sin x|\) e \(|x|\) siano "legati" in qualche modo utile, perché altrimenti hai perso in partenza.
Oh... Ma dovresti sapere che il seno, per valori "piccoli" della variabile, soddisfa la disuguaglianza geometrica:
\[
-x \leq \sin x \leq x
\]
dalla quale, prendendo i valori assoluti segue \(|\sin x|\leq |x|\)!
Ora che è assodato che \(|\sin x|\) e \(|x|\) sono "legati", cerchi di stabilire se questo legame è utile o meno.
Ragiona un momento. Vuoi che \(|\sin x|<\varepsilon\); ma, affinché valga questa disuguaglianza, è necessario che \(|x|<\varepsilon\): infatti, per la proprietà transitiva della relazione d'ordine, da \(|\sin x|\leq |x|\) e da \(|x|<\varepsilon\) segue \(|\sin x|<\varepsilon\) ed hai fatto!
Ora, assodato che la relazione \(|\sin x|\leq |x|\) è utile, cerca di usarlo per trovare il tuo upper bound \(\sigma\).
Se rileggi il ragionamento scritto sopra, ti accorgi che esso dimostra valida l'implicazione \(|x|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |\sin x|<\varepsilon\), e quindi prova pure che:
\[
0<|x|<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad |\sin x|<\varepsilon\; .
\]
Ciò ti consente senza ombra di dubbio di prendere come upper bound \(\sigma =\sigma (\varepsilon):= \varepsilon\).
Con questa scelta di \(\sigma\), la tua definizione di limite evidentemente vale. Infatti, per fissato \(\varepsilon>0\) per la proprietà transitiva della disuguaglianza hai:
\[
0<|x|<\sigma =\epsilon\quad \Rightarrow \quad 0\leq |\sin x|\leq |x|<\varepsilon
\]
ossia \(\forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon\); lasciando libero \(\varepsilon\) di variare, hai:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \sigma =\varepsilon >0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon
\]
cioé \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x =0\).
***
Quale dei due metodi è il migliore?
Beh, dipende da cosa intendi per "essere il migliore".
Se intendi "essere più generale", il secondo è migliore: infatti esso ti fornisce una strategia di assalto per risolvere altri problemi meno banali.
Questa strategia è la seguente: voglio far vedere che \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \) per \(0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon)\), ma non so risolvere "a mano" \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \); allora cerco una funzione \(g\) tale che \(|f(x)-f(x_0)|\leq |g(x)-g(x_0)| \) e cerco di trovare \(\sigma=\sigma (\varepsilon)>0\) in modo che \(|g(x)-g(x_0)|<\varepsilon\) per \(0<|x-x_0|<\sigma\); a questo punto, se scelgo \(\delta=\sigma\) ho \(|f(x)-f(x_0)|\leq |g(x)-g(x_0)|<\varepsilon \) per \(0<|x-x_0|<\delta\) e questo è quello che mi serviva.
Se, invece, intendi "essere più immediata" o "fornisce $\delta$ più grandi (per \(\varepsilon\) vicini a zero)", la prima è certamente migliore.
Ad esempio, se diagrammi le due funzioni \(\delta(\varepsilon) =\arcsin \min \{\varepsilon ,1\}\) e \(\sigma (\varepsilon) =\varepsilon\), ottenute nel primo e nel secondo ragionamento, ottieni:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("arcsin(x)",0,1); line([1,1.571],[4,1.571]);
stroke="dodgerblue"; plot("x",0,4);[/asvg]
e si vede subito che il \(\delta (\varepsilon)\) è maggiore del \(\sigma(\varepsilon)\) per \(\varepsilon\) piccoli; quindi col primo metodo individui intorni più grandi di \(x_0=0\) nei quali la stima \(|\sin x|<\varepsilon\) è valida.
Effettivamente, non ce n'è motivo, nel caso in esame.
Infatti, se \(\varepsilon >1\), la disuguaglianza \(|\sin x|<\varepsilon\) è soddisfatta da tutti gli \(x\in X= \mathbb{R}\); mentre, se \(\varepsilon <1\), risolvendo il sistema \(-\varepsilon <\sin x<\varepsilon\) trovi:
\[
-\arcsin \varepsilon +k\pi
ed in \(X\) è contenuto un intorno simmetrico di \(0\), ossia l'intervallo \(U:=]-\arcsin \varepsilon , \arcsin \varepsilon[\) che ha semiampiezza \(\arcsin \varepsilon\).
Da ciò segue che, in corrispondenza di ogni fissato \(\varepsilon >0\), la definizione di limite la verifico senz'altro quando scelgo:
\[
\begin{split}
\delta =\delta(\varepsilon)&=\begin{cases}\arcsin \varepsilon &\text{, se } 0<\varepsilon \leq 1\\
\frac{\pi}{2} &\text{, se } \varepsilon \geq 1\end{cases}\\
&= \min \left\{\arcsin \varepsilon , \frac{\pi}{2}\right\}\\
&= \arcsin \min \{\varepsilon ,1\}\; .
\end{split}
\]
Infatti, se \(\varepsilon >1\), allora ogni \(x\) per cui vale \(0<|x|<\delta\) sta pure in \(X=\mathbb{R}\), dunque è certamente \(|\sin x|<\varepsilon\); d'altro canto, se \(0<\varepsilon \leq 1\), un \(x\) che soddisfa \(0<|x|<\delta\) appartiene a \(U\setminus \{0\}\), perciò \(x\in X\setminus \{0\}\) e dunque \(|\sin x|<\varepsilon\) (visto che \(X\) era l'insieme di tutte le soluzioni del problema \(|\sin x|<\varepsilon\)).
Quindi, lasciando di nuovo \(\varepsilon\) libero di variare, hai appena dimostrato che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta=\arcsin \min \{\varepsilon ,1\}>0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\delta,\ |\sin x|<\varepsilon
\]
frase che si conviene di esprimere sinteticamente scrivendo \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x =0\).
Tuttavia quello del seno è un caso fortunato, nel quale sai fare i conti "a mano" e riesci a determinare subito chi è il \(\delta (\varepsilon)\) buono per dimostrare valida la definizione di limite... Rimane aperto, in generale, il problema di come fare la stessa cosa quando non i conti "a mano" non si possono fare.
In questo caso, però, la funzione seno ti viene di nuovo in soccorso e ti fornisce una indicazione su qualche possibile strategia da adottare. Da adesso in poi, fingi di non saper risolvere disequazioni trigonometriche.
In qualche modo (facendo prove numeriche, oppure perché te l'ha detto una persona di cui ti fidi) ti sei convinto che \(\lim_{x\to 0} \sin x=0\) e lo vuoi dimostrare, cioé vuoi dimostrare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \sigma >0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon \; ;
\]
ciò significa la seguente cosa: ritenendo \(\varepsilon >0\) fissato, devi chiederti se è possibile determinare \(\sigma>0\) in modo che \(0<|x|<\sigma\ \Rightarrow\ |\sin x|<\varepsilon\). In altre parole, tu vuoi che \(|\sin x|<\varepsilon\) per alcuni precisi valori di \(|x|\) e vuoi determinare un upper bound \(\sigma\) per tali valori, upper bound che può essere anche "piccolo" (non ti importa, basta che non è zero).
Per fare una cosa del genere devi necesariamente chiederti se \(|\sin x|\) e \(|x|\) siano "legati" in qualche modo utile, perché altrimenti hai perso in partenza.
Oh... Ma dovresti sapere che il seno, per valori "piccoli" della variabile, soddisfa la disuguaglianza geometrica:
\[
-x \leq \sin x \leq x
\]
dalla quale, prendendo i valori assoluti segue \(|\sin x|\leq |x|\)!
Ora che è assodato che \(|\sin x|\) e \(|x|\) sono "legati", cerchi di stabilire se questo legame è utile o meno.
Ragiona un momento. Vuoi che \(|\sin x|<\varepsilon\); ma, affinché valga questa disuguaglianza, è necessario che \(|x|<\varepsilon\): infatti, per la proprietà transitiva della relazione d'ordine, da \(|\sin x|\leq |x|\) e da \(|x|<\varepsilon\) segue \(|\sin x|<\varepsilon\) ed hai fatto!
Ora, assodato che la relazione \(|\sin x|\leq |x|\) è utile, cerca di usarlo per trovare il tuo upper bound \(\sigma\).
Se rileggi il ragionamento scritto sopra, ti accorgi che esso dimostra valida l'implicazione \(|x|<\varepsilon\ \Rightarrow\ |\sin x|<\varepsilon\), e quindi prova pure che:
\[
0<|x|<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad |\sin x|<\varepsilon\; .
\]
Ciò ti consente senza ombra di dubbio di prendere come upper bound \(\sigma =\sigma (\varepsilon):= \varepsilon\).
Con questa scelta di \(\sigma\), la tua definizione di limite evidentemente vale. Infatti, per fissato \(\varepsilon>0\) per la proprietà transitiva della disuguaglianza hai:
\[
0<|x|<\sigma =\epsilon\quad \Rightarrow \quad 0\leq |\sin x|\leq |x|<\varepsilon
\]
ossia \(\forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon\); lasciando libero \(\varepsilon\) di variare, hai:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \sigma =\varepsilon >0:\ \forall x\in \mathbb{R} \text{ con } 0<|x|<\sigma,\ |\sin x|<\varepsilon
\]
cioé \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \sin x =0\).
***
Quale dei due metodi è il migliore?
Beh, dipende da cosa intendi per "essere il migliore".
Se intendi "essere più generale", il secondo è migliore: infatti esso ti fornisce una strategia di assalto per risolvere altri problemi meno banali.
Questa strategia è la seguente: voglio far vedere che \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \) per \(0<|x-x_0|<\delta(\varepsilon)\), ma non so risolvere "a mano" \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \); allora cerco una funzione \(g\) tale che \(|f(x)-f(x_0)|\leq |g(x)-g(x_0)| \) e cerco di trovare \(\sigma=\sigma (\varepsilon)>0\) in modo che \(|g(x)-g(x_0)|<\varepsilon\) per \(0<|x-x_0|<\sigma\); a questo punto, se scelgo \(\delta=\sigma\) ho \(|f(x)-f(x_0)|\leq |g(x)-g(x_0)|<\varepsilon \) per \(0<|x-x_0|<\delta\) e questo è quello che mi serviva.
Se, invece, intendi "essere più immediata" o "fornisce $\delta$ più grandi (per \(\varepsilon\) vicini a zero)", la prima è certamente migliore.
Ad esempio, se diagrammi le due funzioni \(\delta(\varepsilon) =\arcsin \min \{\varepsilon ,1\}\) e \(\sigma (\varepsilon) =\varepsilon\), ottenute nel primo e nel secondo ragionamento, ottieni:
[asvg]xmin=0; xmax=3; ymin=0; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("arcsin(x)",0,1); line([1,1.571],[4,1.571]);
stroke="dodgerblue"; plot("x",0,4);[/asvg]
e si vede subito che il \(\delta (\varepsilon)\) è maggiore del \(\sigma(\varepsilon)\) per \(\varepsilon\) piccoli; quindi col primo metodo individui intorni più grandi di \(x_0=0\) nei quali la stima \(|\sin x|<\varepsilon\) è valida.
Wow, grazie gugo per il tuo generoso contributo.
Quando avrò più tempo mi rileggerò per bene tutto quanto. Grazie.
Quando avrò più tempo mi rileggerò per bene tutto quanto. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo