Limiti e verifica

[Hajra]

Calcolare il seguente limite e verificarne il risultato utilizzando la definizione di limite.

[math]lim_{x\rightarrow1^+} log\sqrt{x-1}[/math]

[math]lim_{x\rightarrow1^+}log\sqrt{1^+-1} \Rightarrow lim_{x\rightarrow1^+}log\sqrt{0^+}\Rightarrow lim_{x\rightarrow1^+}log{0^+}[/math]

[math]lim_{x\rightarrow1^+}log{0^+}=-\infty[/math]

per la verifica:
[math]lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = -\infty \Leftrightarrow f(x)

[ciampax]

Ok. Ma devi scrivere un po' meglio:

[math]\lim_{x\to a^+} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ x\ :\ a < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x)< -M[/math]

Risolvendo

[math]\log\sqrt{x-1}< -M[/math]

trovi

[math]x < 1+e^{-2M}[/math]

e pertanto basta porre

[math]\delta_M=e^{-2M}[/math]

per verificare l'ipotesi.