Limiti, è una forma indeterminata?
Salve, mi è sorto un dubbio facendo i limiti. Se ho un qualsiasi limite che fa $ 0/0^- $ oppure $ 0/0^+ $ in questo caso si può dire che il limite fa zero, o si tratta sempre di forma indeterminata? Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Ciao Omi,
la risposta è no, il limite non fa zero ma è una forma indeterminata che rientra appunto nella forma $ 0/0 $
Se dovessei avere ulteriori dubbi o chiarimenti facci sapere
la risposta è no, il limite non fa zero ma è una forma indeterminata che rientra appunto nella forma $ 0/0 $
Se dovessei avere ulteriori dubbi o chiarimenti facci sapere
Ciao Matte, grazie per la risposta. Però dire $ 0^+ $ o $ 0^- $ non significa dire numeri leggermente più grandi o più piccoli di zero?
Ciao Omi,
A parte che non mi pare proprio un tema da Analisi superiore, ma casomai da Analisi matematica di base, perché non posti direttamente il limite che ti ha fatto sorgere questo dubbio che così ci diamo un'occhiata?
A parte che non mi pare proprio un tema da Analisi superiore, ma casomai da Analisi matematica di base, perché non posti direttamente il limite che ti ha fatto sorgere questo dubbio che così ci diamo un'occhiata?
Ciao pillo, si hai ragione, delle volte faccio ancora confusione con i format sul sito. Comunque no è un dubbio che mi è sorto così, non c'è nessun limite. Oltre al dubbio che ho esposto sopra, volevo chiedere un'altra perplessità. Se ad esempio ho il limite $ lim_(x -> 1) (1-1)/(x-1) $ questo limite è zero a prescindere che esca una forma indeterminata giusto? Poiché il numeratore si annulla.
"Omi":
Oltre al dubbio che ho esposto sopra, volevo chiedere un'altra perplessità. Se ad esempio ho il limite $ lim_(x -> 1) (1-1)/(x-1) $ questo limite è zero a prescindere che esca una forma indeterminata giusto? Poiché il numeratore si annulla.
Sì, perché le funzioni $f_1 : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ ed $f_2: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ definite ponendo $f_1 (x)=\frac{1-1}{x-1}$ ed $f_2(x)=0$ sono uguali e, dato che quando calcoli il limite per $x \to 1$ il punto $x=1$ è escluso dal dominio di $f(x)=\frac{1-1}{x-1}$ intersecato un intorno di $1$, puoi sostituire $\frac{1-1}{x-1}=0$.
Ok questo adesso mi è chiaro grazie. Sul fatto invece che
$ 0/0^- $ o $ 0/0^+ $ siano forme indeterminate nonostante $ 0^+ $ e $ 0^- $ siano numeri diversi da zero?
$ 0/0^- $ o $ 0/0^+ $ siano forme indeterminate nonostante $ 0^+ $ e $ 0^- $ siano numeri diversi da zero?
"Omi":
... nonostante $ 0^+ $ e $ 0^- $ siano numeri diversi da zero?
NON sono numeri ma "sigle", abbreviazioni.
Secondo te che significato hanno? Ribadisco che non sono numeri (e come detto precedentemente, riportare un esempio aiuterebbe a capire meglio
)
Non ho esempi per le mani, è un dubbio sorto così facendo dei limiti semplici. Comunque io le sigle $ 0^+ $ e $ 0^- $ le ho sempre intese come numeri leggermente più grandi di zero e numeri leggermente più piccoli di zero. Per questo ho chiesto se $ 0/0^- $ facesse zero..
Sono d'accordo con axpgn.
Anche secondo me è un problema di abuso di notazione. Nel contesto dei limiti, dopo aver effettuato il passaggio al limite, le scritture $0/0$, $0^+$ e $0^-$ assumono, nei primi corsi di analisi, un significato intuitivo sia per dire che il limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ non può essere dedotto dai singoli limiti $\lim_{x \to x_0} f(x)$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)$ (che poi è lo stesso di ogni forma indeterminata: esse ti dicono, in buona sostanza, che non puoi applicare i teoremi algebrici sui limiti per dedurre il limite dai singoli limiti; con teoremi algebrici intendo quelli che, sotto opportune ipotesi, ti assicurano che il limite della somma è pari alla somma dei limiti, il limite del rapporto è il rapporto del limiti, ecc.), sia per aver modo di tracciare qualitativamente un grafico avendo il segno della funzione in un intorno del punto $x_0$. Sono notazioni pratiche, che nascondono il significato rigoroso del limite che alla fine è sempre il solito $\epsilon$-$\delta_{\epsilon}$ (se stai facendo analisi).
Cioè, si dimostra che se $f(x) \to 0$ e $g(x) \to l \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ per $x \to x_0$ allora puoi dedurre (teorema algebrico) che $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$, ma nella dimostrazione appunto si usa il fatto che $l \ne 0$, e, se vedi le definizioni di limite, dire che $f$ tende a $0^+$ per $x \to x_0$ significa semplicemente che hai dimostrato che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom}f(x) \cap (x_0-\delta_{\epsilon},x_0+\delta_{\epsilon}) \setminus \{x_0\}$, risulta $|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \implies 0
Insomma, ti consiglio di non cercare un significato dietro ad essi che ti dia un modo sistematico di calcolare i limiti; piuttosto, ti consiglio di capire bene le ipotesi dei teoremi algebrici, per poi usare quei simboli con più scioltezza man mano che si acquista esperienza.
"Omi":
Salve, mi è sorto un dubbio facendo i limiti. Se ho un qualsiasi limite che fa $ 0/0^- $ oppure $ 0/0^+ $ in questo caso si può dire che il limite fa zero, o si tratta sempre di forma indeterminata? Grazie a tutti in anticipo.
Anche secondo me è un problema di abuso di notazione. Nel contesto dei limiti, dopo aver effettuato il passaggio al limite, le scritture $0/0$, $0^+$ e $0^-$ assumono, nei primi corsi di analisi, un significato intuitivo sia per dire che il limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ non può essere dedotto dai singoli limiti $\lim_{x \to x_0} f(x)$ e $\lim_{x \to x_0} g(x)$ (che poi è lo stesso di ogni forma indeterminata: esse ti dicono, in buona sostanza, che non puoi applicare i teoremi algebrici sui limiti per dedurre il limite dai singoli limiti; con teoremi algebrici intendo quelli che, sotto opportune ipotesi, ti assicurano che il limite della somma è pari alla somma dei limiti, il limite del rapporto è il rapporto del limiti, ecc.), sia per aver modo di tracciare qualitativamente un grafico avendo il segno della funzione in un intorno del punto $x_0$. Sono notazioni pratiche, che nascondono il significato rigoroso del limite che alla fine è sempre il solito $\epsilon$-$\delta_{\epsilon}$ (se stai facendo analisi).
Cioè, si dimostra che se $f(x) \to 0$ e $g(x) \to l \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ per $x \to x_0$ allora puoi dedurre (teorema algebrico) che $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$, ma nella dimostrazione appunto si usa il fatto che $l \ne 0$, e, se vedi le definizioni di limite, dire che $f$ tende a $0^+$ per $x \to x_0$ significa semplicemente che hai dimostrato che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta_{\epsilon}>0$ tale che per ogni $x \in \text{dom}f(x) \cap (x_0-\delta_{\epsilon},x_0+\delta_{\epsilon}) \setminus \{x_0\}$, risulta $|x-x_0|<\delta_{\epsilon} \implies 0
Insomma, ti consiglio di non cercare un significato dietro ad essi che ti dia un modo sistematico di calcolare i limiti; piuttosto, ti consiglio di capire bene le ipotesi dei teoremi algebrici, per poi usare quei simboli con più scioltezza man mano che si acquista esperienza.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Adesso mi è chiaro. Ti ringrazio Mephlip, grazie a tutti per i consigli.
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