Limiti e Taylor

[alfiere15]

Ciao a tutti.
Ho il seguente limite:
$lim_(x->0^+) (sqrt(1-x) -cos sqrt(x))/(ln(ln(e+x^2)))$
da svolgere con Taylor.
Non riesco a sviluppare il denominatore.
Ho ottenuto:
$e+x^2 = 1+x+3/2 x^2 +o(x^2)$
$ln(e+x^2) = ln(1+x+3/2 x^2) = (x +3/2 x^2)-((x+3/2 x^2)^2/2) +o((x+3/2 x^2)^2)$, ottenendo: $x+x^2 +o(x^2)$
Come posso fare per:
$ln(ln(e+x^2)) = ln(x+x^2 +o(x^2))$

[billyballo2123]

Guarda che $e+x^2\ne 1+x+3/2x^2+o(x^2)$.
Comunque io farei:
\[
\ln\ln(e+x^2)=\ln\ln \bigg[e\bigg(1+\frac{x^2}{e}\bigg)\bigg]=\ln\bigg[\ln e+\ln\bigg(1+\frac{x^2}{e}\bigg)\bigg] \\
=\ln\bigg[1+\ln\bigg(1+\frac{x^2}{e}\bigg)\bigg] \sim
\ln\bigg(1+\frac{x^2}{e}\bigg)\sim \frac{x^2}{e}.
\]

[alfiere15]

Sì! Mi sono accorto dopo che si poteva fare come hai detto tu.
Comunque, se $e^x = 1 + x + x^2 /2 +o(x^2)$, $e^x+x^2=1+x+3/2 x^2+o(x^2)$
Sbaglio?

[donald_zeka]

$e^x$ è una funzione, $e$ è un numero naturale.

[alfiere15]

Avete ragione. Avevo letto male la traccia... Credevo ci fosse l'esponente.
Invece, con $ln(tg(x))$ come si può sviluppare?

[donald_zeka]

Così come hai fatto prima con $e^x$

[donald_zeka]

Aspetta, lo sviluppo di Taylor di una funzione si esegue in un punto $x_0$ in cui la funzione è definita, in quale punto vuoi eseguire lo sviluppo di $ln(tanx)$?

[alfiere15]

è un altro limite, sempre per $x->0$
Io ho: $tan2x = 2x + 8/3 x^3 +o(x^4)$
e poi? Per $ln(2x + 8/3 x^3 +o(x^4))$?

[donald_zeka]

Dimmi di quale limite si tratta, non si può fare lo sviluppo di $ln(tanx)$ in $x=0$ con Taylor

[alfiere15]

$lim_(x->0^+) (ln (1-cos2x))/(lntan (x))$

[donald_zeka]

Qui la cosa è un po' diversa, infatti non si può trovare l'espansione in Taylor di quelle due funzioni, ma si può trovare l'espansione in Taylor degli argomenti dei logaritmi e poi usare le proprietà dei logaritmi per valutare il limite:

Abbiamo quindi che:

$1-cos(2x)=1/2x^2$

$tanx=x$

Pertanto il limite diventa:

$lim_(x->0)(ln(1/2x^2))/(ln(x))$

E qui si usano le proprietà dei logaritmi.