Limiti e stime asintotiche

[biowep]

Salve, studiando i limiti delle volte mi sorgono alcuni dubbi che non so risolvere.
Dunque, conoscendo la gerarchia degli infiniti.
\(\displaystyle log_a(x)\le x^b\le c^x\le x!\le x^x, x\rightarrow +\infty \)
e degli ininitesimi (con le funzioni reciproche), in che modo posso usare queste informazioni per risolvere i limiti per \(\displaystyle x\rightarrow 0 \)
Calcoliamo ad esempio: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}x\log(x) \) (senza scomporre in polinomio)

[niccoset]

A parole qualunque potenza vince su qualunque potenza del logaritmo per $ x->0^+ $ e $ x->+infty $.
Mostriamo ora che $ lim_(x->0 ^+)x^alphalog^betax=0 $ con $ alpha>0 $ e $ betainRR $

Se $ beta<=0 $ la tesi è evidente.
Se $ beta>0 $ riscrivendo il limite sopra come $ lim_(x->0^+)logx/x^(-alpha/beta) $ ottieni una forma indeterminata del tipo $ infty/infty $. Ora applicando il teorema di De l'Hopital ottieni $ lim_(x->0^+)(1/x)/(-alpha/betax^((-alpha/beta-1)))=lim_(x->0^+)-beta/alphax^(alpha/beta)=0 $.